스핀 홀 효과(spin hall effect, SHE)_Anomalous Hall effect(AHE), ISHE

정의상 가정	스핀궤도결합(spin orbit coupling) Hall effect(홀 효과) spin dependent scattering(스핀 의존 산란) 자기장(magnetic field)_비오-샤바르법칙(Biot Savart Law)_자석_패러데이 유도법칙 formalism_Hilbert space, dirac notation
내용상 가정	spin up 방향을 +z방향이라 가정 비틀림 산란에서 결정 구조의 포텐셜은 무시하고 불순물의 포텐셜만 고려 베리묶음
공식
단위
응용

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다음 그림과 같이 전자 스핀이 자기장이 되어 외부자기장 없이도 로렌츠 힘(자기장(magnetic field)_비오-샤바르법칙(Biot Savart Law)_자석_패러데이 유도법칙)의 효과를 띄는것을 스핀 홀이라 부릅니다.

이 효과가 중요한 것은 전류에 포함된 전자들의 spin 상태에 따라 전류가 나눠지고, 나눠짐으로써 한 스핀 상태만으로 구성된 전류를 얻을 수 있기 때문입니다.

이전까지는 Ferromagnet에 전류를 통과하여 spin polarization을 얻었지만, 여기선 단순이 전류를 흘리는 것 만으로도 spin polarization된 전류를 얻을 수 있어 spintronics에 응용하기 쉽습니다.

이때, 물질의 양 끝으로 전류가 나눠져 중간지점은 conducting하지 않고 양 끝만 각각의 스핀전류로 conducting하게 됩니다.

먼저 spin hall effect가 아닌, 기존의 ordinary(normal) hall effect를 보겠습니다. 자기장은 본래 전자의 이동으로 정의된 것이므로, 기존의 홀 효과는 아래 그림의 원리로 생겼다고 볼 수 있습니다.

그렇다면 spin hall effect는 어떨까요? 

앞서 스핀이 자기장과 같은 역할을 한다고 서술해 놓았습니다.

사실 이 효과는 Intrinsic하게는 Berry phase라는 band구조에 의한 영향과, skew scattering이라는 spin orbit interaction과 side jump라는 impurity scattering에 의해 발생된다고 알려져 있지만 복잡하므로 실험적인 현상을 간단하게 해석한것을 먼저 보겠습니다.(그렇다고 이 포스팅 초반에 논의되는 것이 완전 잘못된 설명은 아닙니다. 아직도 이를 해석하는 이론이 논쟁중이기 때문입니다,)

그러나 이 효과가 실제 자기장에 의해 발생하는지, 증명된 바가 없어, 먼저 스핀 홀효과의 원인지 스핀의 자기장에 의한 로렌츠 힘이 아니라는 것을 가정하여 진행하겠습니다.

스핀 홀 효과는 스핀 전류가 물질에 흐르는 상황에서 발생하므로, 앞서 보았던 스핀궤도결합(spin orbit coupling)이 스핀의 거동을 제어하는 원인으로 볼 수 있습니다.

특히 스핀 궤도 결합은 원자번호가 클 수록 강해진다는 측면에서 봤을때도, 스핀 궤도 결합이 일어나지않는 작은 원자번호에서는 스핀 홀 효과가 발생하지 않는 실험결과와도 일치해 스핀궤도결합을 스핀홀효과의 유력한 원인으로 보고 원인을 분석해 볼 수 있습니다.

먼저 스핀궤도결합만의 효과를 보기위해 작은 원자번호에 물질(스핀 궤도 결합이 없는 물질)속에 큰 원자번호의 불순물(스핀궤도결합이 있는 물질)이 들어간 상황으로 보겠습니다.

이동하던 전자가 불순물에 충돌하는 순간 산란이 일어납니다.

이 불순물에서는 전자가 산란할때 아래 그림과 같이 전자의 스핀방향에 따라 전자의 산란방향이 다르게 나오는 현상이 발견됩니다. 

이를 비틀림 산란(skew scattering)이라 하고 자세히 보겠습니다.

이때 검은색 전자 궤적은 스핀 궤도 결합이 없을때 단순히 산란된 궤적입니다.

다음그림과 같은 상황에서 전자가 불순물로 부터 V(r)의 포텐셜에너지(전위차)를 받아 산란이 일어날때, 이 V만을 받고 산란된 것이 위 그림의 검은색 궤적입니다. 이때 V에대해 스핀궤도결합(spin orbit coupling)

을 고려한다면 V에 전자스핀의 항이 부여되어

가 됩니다. 다시말해 전자가 불순물과 충돌하여 산란될때 불순물의 전자 궤도운동에 의한 자기장과 상호작용하여 나타나는 항을 추가한 것 입니다.

즉 전자의 포텐셜이 불순물의 L과 전자의 스핀상태에 따라 달라서 스핀에 따라 산란하는 정도가 달라집니다.

만약 이 산란이 불순물과 전도하는 전자가 척력작용으로 발생한 것이라 한다면

은 음수가 되고(쿨룽의 법칙에서 q1,q2가 같은 부호므로)

만약 산란 자체가 위로 될경우 아래의 그림을 참고하면 전도 전자가 순간 불순물 원자의 궤도에 시계방향으로 이동하므로 의 방향은 자기유도법칙에 의해 아래그림의 경우  -z 방향일 것입니다.

이때 스핀 S는 spin up인경우를 z방향으로 가정했으므로

는 음수가 됩니다. 이를 식에 적용하면 스핀 궤도 결합 항은 양수가 되어 더 강한 척력을 받게 됩니다. 따라서 전자는 더 많은 힘을 위쪽(y방향)으로 받게 되므로 검은색 궤석 대비 더 위쪽으로 갈 수 있습니다.

반대로 spin down은 더 적은 힘을 받게 되어 낮은 위치로 산란됩니다.

만약 산란이 아래로 된다면 는 양수가 될 것입니다.

즉 위의 상황과 반대로 spin down은 더 아래로 spin up은 낮은 위치로 산란됩니다.

만약 전자를 파동으로 본다면 파동의 운동량이 산란과정에서 바뀌고 다시 원래의 운동량으로 돌아와야하는데, 스핀궤도결합에 의해 초기 운동량에 의존해 베리위상이라는 위상이 발생합니다.

베리위상은 스핀에 따라 달라지는데, up spin에 의해 베리위상이 바뀌면 전자 파동의 보강간섭 위치가 바뀌여 파동묶음 위치가 바뀌여 더 휜다고 볼 수 있습니다. 이것을 side jump 현상이라고 합니다.

물론 산란의 방향은 무작위로 되므로 통계적으로 수많은 산란이 일어난다고 할 때

위의 상황을 종합한다면

spin up전자는 위로 많이 가있고 spin down전자는 아래로 많이 가있을 것입니다.

따라서 위에서 말했던 hall effect와 동일한 현상이 발견되고 이는 가장 처음에 논의했던 것처럼

spin up일때 위로 자기장이 있는 효과로, down일때 아래로 자기장이 있는 효과로 간단히 로렌츠 원리를 도입할 수 있다고 볼 수 있습니다.

따라서 로렌츠 공식과 비슷하게 쓴다면

입니다. 그렇다면 처음부터 그냥 로렌츠 공식을 쓰면 되지 않느냐 할테지만, 이 현상은 명백히 물질의 conductance에 관련되어있고, conductance에 관련되었다는 것은 드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility)에의해 scattering에 연관되기 때문입니다.

이제 불순물이 아닌 물질 전체를 스핀궤도결합이 존재하는 큰 원자번호의 결정에서 보겠습니다.

이를 intrinsic 메커니즘이라 하는데, 단순히 많은 스핀 궤도 결합의 영향을 받아 속도 자체가 변해 스핀 홀과같은 현상이 발생합니다.

이는 양자역학 수식인 Berry connection으로 유추할 수 있고 자기장을 나타내는 벡터 포테셜  로 표현 가능합니다,

(이때 )

이때 는 에너지 벤드 n에서 운동량 k인 전자의 파동함수이고 이 파동함수가 스핀 궤도 결합으로 스핀에 따라 에너지가 다르다면 A가 변화하게 됩니다.

이제 이를 자기장 B(베리 곡률이라 합니다.)로 변화시키고 전자의 속도에 대입하면,

입니다. 즉 베리 곡률이 존재한다면 전자의 속도는 그룹 속도 뿐만이 아닌, 자기장이 포함된 두번째 항에도 영향을 받아 스핀에 따라 변해 이를 비정상 속도(anomalous velocity)라고 불립니다.

따라서 속도가 스핀에 따라 서로 달라 전자 궤적이 달라집니다.

 

이제 이 Spin hall effect에 종류와 검출 방법에 대해 설명해보겠습니다.

spin hall effect에는 anomalous Hall effect(AHE)와 spin hall effect(SHE)가 있고, 또 SHE안에는 direct spin hall effect, inverse spin hall effect가 있습니다. 확실히 해둘것은 이들의 원리는 모두 같습니다. 단순 물질과 Hall effect의 발생 순서의 차이입니다.

간단히 말해 AHE는 FM에서 Hall effect가 발생하는 것으로 한쪽 spin이 더 많이생겨 charge voltage가 생기며 SHE는 NM(Non magnet)로 spin의 갯수가 같아 charge voltage가 잘 안 생긴다고 이해하면 쉽습니다.

더 자세히 보기위해 anomalous hall effect부터 보겠습니다.

앞서 말했든 AHE는 Ferromagnetic물질에서 발생하는 현상입니다.

spin hall effect는 impurity scattering에 의해 발생한다 했는데, 기존 spin hall effect는 spin polarization 되지 않은 전류가 들어갈때 같은 수만큼의 spin이 나눠져 Hall voltage를 측정하기 힘들었습니다.

그러나 impurity자체가 Ferromagnet이라면,spin dependent scattering(스핀 의존 산란)에 의해 스핀에 따라 scattering하는 정도가 달라질 것이고 각 방향으로 가는 carrier의 양이 달라 전압을 띄게 됩니다.

또한 Direct spin hall effect는 charge current를 spin current로 바꾸어 non local 방식으로 검출하는 곳에 ferromagnetic 물질로 검출하는 것이고

Inverse spin hall effect는 spin current를 charge current로 바꾸는 것을 말합니다.

다시말해 Direct는 hall effect 전류로 charge current를 흘려주고, Inverse는 spin current를 흘려주는 것입니다. 그렇면 hall voltage사이에는 각각 spin current가 흐르고 charge current가 흐르겠습니다.

Anomalous Hall effect는 charge의 갯수가 달라지게 쌓여 전압계로 측정 가능하지만, spin hall effect는 갯수가 같게 분산되어 전기적 측정이 어렵습니다.

따라서 이를 확인하려고 광학적인 방법을 많이 사용하는데, 광학적으로 spin 방향을 보아 확인하는 것입니다.

사실 위에서 언급한 내용모두 간단한 수식으로 정리할 수 있습니다.

먼저 익히 알고 있는 로렌츠 힘으로 발생되는 Ordinary Hall effect(OHE)의 경우 외부 자기장에 의해 움직이는 전하에 발생하는 힘과 외부 전기장에 의한 힘의 균형이 맞춰지는 지점을 찾는 것으로 간단한 식을 정리 할 수 있습니다.

w는 bar의 width이고 J는 전류 밀도, B는 자기장 E는 전기장 입니다. 

이는 Tensor로 정리하면 쉬운데

으로 표현됩니다. 다시말해 전류가 흐르는 방향과 전압이 나타나는 방향이 다른것을 표기한 것입니다.

여기에 Anomalous Hall Effect(AHE)가 적용된다면 윗 식에 추가만 하면 됩니다.

참고로 AHE는 OHE보다 10배 이상 크기 때문에 훨씬 잘보이는 중요한 signal입니다.

즉 전압과 전류의 방향이 다른 항에 AHE에 대한 항을 놓으면 되므로 

그러나 이떄 R0와 Rs의 영향을 모두 고려하여 (R0+Rs)Mz=R1 Mz라고 총칭하여 표현합니다. 다시말해 xy항은 수직이방성 M값에 비례하게 됩니다.

오직 hall voltage만 본다면 당연히 

로 표현될 수 있습니다.

추후 더 정확한 물리적 설명과 공식을 추가하겠습니다.

읽어주셔서 감사합니다!