born's statistical interpretation

정의상 가정	슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation) : 비상대론적,  연속방정식(Continuity Equation)
내용상 가정	서로 떨어진 파동이 서로 중첩없이 존재함을 가정한다. x의 무한대 가서 이 값이 0이라 가정한다.
공식
단위
응용

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슈뢰딩거 방정식의 해인 파동함수는 무슨의미를 가질지 생각해보면 born의 확률밀도 함수를 보면 의미를 찾을 수 있습니다.

바로 를 제곱한 값에 이동거리를 곱하면  시간에서 에 있을 확률입니다

즉 확률 밀도 함수이므로 모든 곳에서 더하면 확률은 1이 됩니다. 이를 normalization이라하고 이를 수행ㅇ하면

이며 이렇게 때문에

파동함수의 차원이 제곱에 거리를 곱한게 1 이므로  입니다.

이차원에선 일거고 삼차원에선 일것입니다.

이때 실험적으로 신기한 현상이 발생합니다.

다음과 같은 확률 밀도함수를 가진 원자가 있을 경우 각각 으로 존재한다고 볼때

으로 표현할 수 있습니다.

그런데 이때 한번 측정했더니 x=-a인 이게 발견되었습니다.

그 뒤 다시한번 측정한다면 항상만나오는 것입니다 확률이 이 아니고 1 이 된것입니다.

즉 입니다.

이를 wave function collapse라 합니다.

즉 중첩상태에 대해 측정하고 나면 wave function collapse가 일어나서 상태의 근본적인 변화가 생기는 것입니다.

이를 공식화 한다면 

이는 철학적으로 생각할 수 있겠지만,

일상생활에도 수 많은 예가 있습니다.

동전을 던져서 손으로 덮고 있다면 앞면인지 뒷면인지 중첩상태가 되게 됩니다.

그러다 손을 열고 동전이 앞면임을 확인하는 순간부턴 동전의 앞면인 상황이 됩니다.

즉 정리를 하자면, 이론적으로 전자가 위치할 곳을 확률로 나타내었고

'측정' 즉 전자의 위치를 확인하는 인식적 행위를 하면

전자가 위치한다는 것을 인식하게 되는 것입니다.

이때 이 확률은 연속적으로 변합니다.

즉 연속방정식을 만족하게 됩니다.

연속방정식(Continuity Equation)의 1차원에서 연속방정식을 생각하신다면

이 1차원에 대한 연속방정식인데 이를 적용시킬 수 있습니다.

만약 확률밀도함수의 normalization에서 x는 적분 상수이므로 변수는 t만 있다고 할 수 있습니다.

 을 t로 미분한다면 어떻게 될까요?

상수 1은 당연히 0이 됩니다. 그럼 인데 과연 확률 분포의 normalization이 1로 유지되는지 확인해 보겠습니다.

에 슈뢰딩거 방정식

를 대입하면

이때

이므로

입니다.

이때 무한대 가서 이 값이 0이라 가정합니다. 따라서 

입니다. 

물리적 의미를 보기 위해 을 대입했을때 상황을 다시 보겠습니다.

인데 여기서 

라 정의하면 continuity equation 꼴이 나옵니다.

즉으로 다음 그림과 같습니다.

즉 J는 확률에서 들어가는 량과 나가는 량으로 확률 분포의 변화가 연속함을 알 수 있습니다.

즉 갑자기 딱 바뀌지 않는다는 것입니다!!