continues Hilbert space

요약

formalism을 연속하게 바꾸는 것이다.

정의상 가정	formalism_Hilbert space, dirac notation free particle_V=0 in Srödinger equation
내용상 가정
공식
단위
응용

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

앞선 formalism_Hilbert space, dirac notation에서는

논의가 discrete했습니다.

짧게 복습을 하자면

이러한 formalism에서 로 continues하게 바꾸면 어떻게 될까요??

이것은 마치 free particle에서 했던 논의와 비슷한데,

discrete에서 continues로 바꾸는 논의를 전개시키기위해

한가지 예를 가정하겠습니다.

바로 momentum operator로 가정하는데

를 본다면

이때 다음과 같이 전개해 보겠습니다.

이 될수있습니다. 이때 normalize가 되어야 Hilbert space가 만족되지만 

일딴 만족한다 보고 진행하겠습니다.

그러면

으로 정의한가  2번째 성질은 만족한다고 볼 수 있습니다.

이때 discrete과 dimension이 차이가 나는데 Kronecker delta의 dimension은 dimension less이며 dirac delta는 dimension이 1/L입니다.

따라서 여기의 PDF는 물리학적 차원이 [1/L]이 있습니다.

여기에 completeness까지 적용시켜 보겠습니다.

즉 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

어떻게 3번 조건도 만족시킬 수 있도록 변형시켰습니다.

정의한 식을 마무리해야하므로 g(k)에 대한 정보를 알아보겠습니다.

여기서 g(k)는 k의 대한 항으로 

는 k space에서 k값을 가질 확률로 볼 수 있습니다.

굉장히 푸리에 급수랑 닮아있는데 그냥 푸리에 급수로 보셔도 무방합니다.

또 position operator를 보겠습니다.

라 할때

이때 를 x라고 씁니다. 그냥 쓴다고 가정하는게 아니라 continues로 넘어가며 자연적으로 변환 가능합니다.

자 그럼 이게 왜 continues랑 관련이 있는걸까요??

본래 discrete한것을 생각해보겠습니다.

여기서 n과 n+1의 간격을 엄청나게 줄여 위와 같이 x'로 치환하는 것입니다.

그럼 x'다음번 함수는 x'에서 엄청쪼끔 증가한 값이니까 continues하게 볼 수 있는 것입니다.

이들을 정리하자면

다른표현으로도 볼 수 있는데,

에서 

이고 를 아래 그림과 같이 정의한다하면,

이때 저 간격은 짧으므로 짧은 구간의 x값의 변화는 무시하였습니다.

이때 A는 normalize에 의해

가 되고 이들을 겹겹히 합치면

위 주황네모 하나는 앞서다룬 하나의 x'에 대한 함수값입니다.

위 주황네모들은 겹치지않는다고 가정하면

쭉 더할 수 있습니다. 하나하나 마다 높낮이에 함수를 붙이면, 다양한 함수를 만들 수 있씁니다. 즉 그 높낮이의 비율을 g(x)라 한다면,

입니다.

추가로 여기에 identity operator도 표현가능합니다. 

즉