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반도체공학

Dielectric (유전체) _ plasmon

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 정의상 가정

Maxwell equation(맥스웰 방정식)

드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility)

 

 내용상 가정

물질에 따라 𝞽를 무시하거나(절연체) 무시하지 않는다(금속).

 공식

ϵ=ϵ14πne2/miω/τ+ω2=ϵ1ω2pω2L

 단위

 

 응용

Polariton

파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

 

유전체의 모든것을 파악하기 위해서는, 전자기의 모든것을 포함하는 공식인 Maxwell equation을 적용해 보아야 합니다.

×H=4πCJ+1CDt

×E=1CBt

여기서 모두가 아는 Dielectric function 𝞊(𝞈)과 물질에 자성이 없다는 것을 가정하면

D=ϵ1E, B=H

가장 윗식의 미분방정식을 풀 수 있어

H=H0ei(krωt)

E=E0ei(krωt)

ˆk׈E=ˆH,  |k||E|=|ϵ|2H,j=σ1E

으로 정리 할 수 있습니다. 이때 다음과 같은 수학적 성질에 의해

×Aeikr=ik×Aeikr,  teiωt=iωeiωt

다음과 같이 대입하여 정리할 수 있습니다.

ik×H=4πCσ1EiωCϵ1E

iωC(ϵ1+4πiωσ1)E=iωCϵE

로 이제 Dielectric function 𝞊(𝞈)를 정의할 수 있습니다.

ϵ=ϵ1+4πiωσ

이를 윗식에 다시 적용한다면

ik×(k×E)=iωC(k×H)

=ωC(ik×H)=ω2C2iϵE

ik(kE)ik2E=ω2C2iϵE

k2E=ω2C2ϵE

k=ωCϵ, k=ωCN N=ϵ

이제 D에 대입하여 풀어 써보겠습니다.

D=ϵ1E=(1+4πχ1)E,  P=χE

×(×E)=(E)2E

여기서 max well 방정식을 적극 도입하면

=2E=1CtϵCEt

2E=ϵC22Et2

으로 해를 구할 수 있습니다.

E=E0ei(krωt)k2E=ϵC2(ω2E)

k=ωCϵ=ωCN

으로 N을 정의 할 수 있는데, 여기서 n은 reflective index이고, K는 extinction coefficent입니다.

N=n+iK

따라서 E를 논의를 진행하게 쉽게 만들 수 있습니다.

E=E0eωCNxωt

=E0eωCnxωteωCKx

으로 이들을 도전율과도 관계시킬 수 있는데,

(n+iK)2=n2K22inK=ϵ14πiωσ1

ϵ1=n2K2,  4πωσ1=ϵ2=2nK

 

절연체에서는 이 𝞂=0이므로

σ1=0 ϵ1>1 n=ϵ1>1 K=0
으로 따라서 extinction coefficent가 0으로 전기장이 투과하며 감쇄하지 않습니다.

k=2πλ=2πλ0n λ=λ0n

절연체 통과시 전자기파의 파장이 더 짧아진다는 것도 알 수 있습니다.

 

하지만 어느정도 전도도가 있는경우

σ10,  ϵ1>1,  n2>K2,  n>K

으로 전기장이 감쇄하지만 급격하게 감쇄하지는 않아 oscialtion은 유지합니다. 즉 Damper 이지만 oscilation은 합니다.

 

하지만 metal과 같이 전도도가 엄청나게 큰

σ1>>0,  ϵ2>>ϵ1,  n2K2<0, ϵ1<0

으로 overdamped가 됩니다.


이제 AC의 관점에서 보겠습니다.

드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility)으로 metal을 볼때 Fermi Surface에 전기장을 가하면

다음과 같이 생기고 가한 전기장을 다음이라 한다면

El=k22m, kt+δkτ=eE

에(이때 𝞽는 time constant입니다.) 다음 식
E=E0eiωt k=k0+δk=k0+δ0keiωt

을 대입한다면

(iω)δkeiωt+2eiωt=E0eiωt(e)

이 도출되는데 다음식을 이용해서

P=k δk=mδν=m(iω)δx

쭉 전개한다면

k(12iω)=E0(e)

j=neν0=neδkm

으로 모두 대입하여 전기장을 나타낸다면

σ(ω)E0=ne(e)E0(112iω)m

=ne2m(τ1iω2)E0

으로 dielectric function으로 적용한다면

ϵ=ϵ1+4πiωσ=ϵ1+4πiωne2τm1iωτ

=ϵ14πne2/miω/τ+ω2=ϵ1ω2pω2L

으로  plasma frequency wp를 정의할 수 있습니다.

ωp=(4πne2m)1/2

따라서 실수부만 고려한다면 다음과 같은 그래프를 얻을 수 있는데, 이 그래프는 절연체로 𝞽의 효과는 무시한 것입니다. 즉 주파수에 따라 reflected 되는 것과 propagate되는 경향이 달라지는데, 𝟄>0이면 전자기파 진행하고, 𝟄<0이면 전자기파가 반사 됩니다. 

ω=ωpϵ1

에서 0을 지나고 변화합니다. 이때 분모에 있는것은 기본 유전율입니다. 

허수부는 약간 다릅니다.

(그래프의 y축은 전도율입니다;;) 허수부는 완벽히 금속을 의미한다고 보면 됩니다.

σ1=σ01+ω2τ2

로 일반적인 금속의 파라미터를 적용해본다면

τ1014,  ω1014s1,  f=1.6×1013Hz

으로 𝞽효과가 반드시 필요하므로 𝞽를 고려하여 다시한번 구해보겠습니다. 즉 metal을 가정합니다.

ϵ=ϵω2pω2+iω/τ

=ϵω2pω2+1/τ2+iω2pτω(1+ω2τ2)

ω2p=4πne2m

σ0=ne2τm=14πω2pτ

으로 정리 할 수 있습니다.


이제 전기장을 가했을때 Dipole이 일어나는 것을 보겠습니다. 바로 물질의 전하의 분리가 일어나서 전기장을 depolarization을 시키는 것으로 P로 표현합니다.

D=E+4πP=ϵE

으로 D=0이면 𝟄=0이므로

E=4πP=4π(n(e)χ)

𝟆가 분극된 거리를 나타내는 항이므로 F=ma를 사용하여 표기하면

md2χdt2=neE=4πne2χ

d2χdt2=4πne2mχ=ω2pχ

χ=χ0eiω2pt

으로 에너지로 나타내면

E=E0nωp로 plasma frequency가 양자화 되어 계속 에너지가 감소하며 이정도는 

L=Im(1ϵ)로 plasma frequency의 배수열로 에너지 흡수가 일어납니다.

이를 plasmon이라 합니다.


이제 장파장 단파장에 따른 변화를 보겠습니다.

전기력에 따른 운동방정식을 세운다면

m¨x+γ˙x+kx=Fext

Fext=eEeiωt

  (mω2iωγ+k)x0=eE

의 기본식이 나오게 되는데,

km=ω2g, rm=τ

라 정의를 한다면

x0=eE/mω2iω/τ+ω2g

이고 이때 전기장에 의해 전하가 분리되어 생기는 polarization을 계산한다면

P=nex0=neτmEω2gω2iω/τ

에서 위에서 굉장이 많이 반복한 dielectic 에 대한 식을 쓴다면

D=E+4πP=σE,   ϵ=1+4πDE

여기서 1대신에 high frequency dielectric function을 쓴다면

ϵ=ϵ+4πne2mω2gω2iω/τ

으로 two level system에서

전하가 쌓인것이 decay하는 시간이 𝜏인데 딱 걸리는 전계가

E=ωg일 때 전자가 들쓸수 있기 때문에 전도도가 증가합니다.

따라서 이 wg를 기점으로 반사율과 visible한 영역의 경향이 바뀌게 됩니다.

 

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