정의상 가정 |
드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility)
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내용상 가정 |
물질에 따라 𝞽를 무시하거나(절연체) 무시하지 않는다(금속). |
공식 |
ϵ=ϵ1−4πne2/miω/τ+ω2=ϵ1−ω2pω2L |
단위 |
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응용 |
↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!
유전체의 모든것을 파악하기 위해서는, 전자기의 모든것을 포함하는 공식인 Maxwell equation을 적용해 보아야 합니다.
→∇×→H=4πC→J+1C∂D∂t
→∇×→E=−1C∂B∂t
여기서 모두가 아는 Dielectric function 𝞊(𝞈)과 물질에 자성이 없다는 것을 가정하면
→D=ϵ1→E, →B=→H
가장 윗식의 미분방정식을 풀 수 있어
→H=→H0ei(→k⋅→r−ωt)
→E=→E0ei(→k⋅→r−ωt)
ˆk׈E=ˆH, |→k||→E|=|ϵ|2H,→j=σ1→E
으로 정리 할 수 있습니다. 이때 다음과 같은 수학적 성질에 의해
→∇×→Aei→k⋅→r=i→k×→Aei→k⋅→r, ∂∂te−iωt=−iωe−iωt
다음과 같이 대입하여 정리할 수 있습니다.
i→k×→H=4πCσ1→E−iωCϵ1→E
−iωC(ϵ1+4πiωσ1)→E=−iωCϵ→E
로 이제 Dielectric function 𝞊(𝞈)를 정의할 수 있습니다.
ϵ=ϵ1+4πiωσ
이를 윗식에 다시 적용한다면
ik×(→k×→E)=iωC(→k×→H)
=ωC(i→k×→H)=−ω2C2iϵ→E
i→k(→k⋅→E)−ik2→E=−ω2C2iϵ→E
k2→E=ω2C2ϵ→E
k=ωC√ϵ, k=ωCN→ N=√ϵ
이제 D에 대입하여 풀어 써보겠습니다.
→D=ϵ1→E=(1+4πχ1)→E, →P=χ→E
→∇×(→∇×→E)=→∇(→∇⋅→E)−∇2→E
여기서 max well 방정식을 적극 도입하면
=−∇2→E=1C∂∂tϵC∂→E∂t
→∇2E=ϵC2∂2E∂t2
으로 해를 구할 수 있습니다.
→E=→E0ei(→k⋅→r−ωt)→−k2→E=ϵC2(−ω2→E)
k=ωC√ϵ=ωCN
으로 N을 정의 할 수 있는데, 여기서 n은 reflective index이고, K는 extinction coefficent입니다.
N=n+iK
따라서 E를 논의를 진행하게 쉽게 만들 수 있습니다.
→E=→E0eωCNx−ωt
=→E0eωCnx−ωte−ωCKx
으로 이들을 도전율과도 관계시킬 수 있는데,
(n+iK)2=n2−K2−2inK=ϵ14πiωσ1
ϵ1=n2−K2, 4πωσ1=ϵ2=2nK
절연체에서는 이 𝞂=0이므로
σ1=0→ ϵ1>1→ n=√ϵ1>1→ K=0
으로 따라서 extinction coefficent가 0으로 전기장이 투과하며 감쇄하지 않습니다.
k=2πλ=2πλ0n→ λ=λ0n
절연체 통과시 전자기파의 파장이 더 짧아진다는 것도 알 수 있습니다.
하지만 어느정도 전도도가 있는경우
σ1≠0, ϵ1>1, n2>K2, n>K
으로 전기장이 감쇄하지만 급격하게 감쇄하지는 않아 oscialtion은 유지합니다. 즉 Damper 이지만 oscilation은 합니다.
하지만 metal과 같이 전도도가 엄청나게 큰
σ1>>0→, ϵ2>>ϵ1, n2−K2<0, ϵ1<0
으로 overdamped가 됩니다.
이제 AC의 관점에서 보겠습니다.
드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility)으로 metal을 볼때 Fermi Surface에 전기장을 가하면

다음과 같이 생기고 가한 전기장을 다음이라 한다면
El=ℏk22m, ℏ∂→k∂t+ℏδ→kτ=−e→E
에(이때 𝞽는 time constant입니다.) 다음 식
→E=E0eiωt→ →k=→k0+δ→k=→k0+δ0→ke−iωt
을 대입한다면
ℏ(−iω)δ→ke−iωt+ℏ2eiωt=E0e−iωt(−e)
이 도출되는데 다음식을 이용해서
→P=ℏ→k→ ℏδ→k=mδ→ν=m(iω)δ→x
쭉 전개한다면
→k(12−iω)=→E0ℏ(−e)
→j=−ne→ν0=−neℏδ→km
으로 모두 대입하여 전기장을 나타낸다면
σ(ω)→E0=−ne(−e)E0ℏ(112−iω)ℏm
=ne2m(τ1−iω2)→E0
으로 dielectric function으로 적용한다면
ϵ=ϵ1+4πiωσ=ϵ1+4πiωne2τm1−iωτ
=ϵ1−4πne2/miω/τ+ω2=ϵ1−ω2pω2L
으로 plasma frequency wp를 정의할 수 있습니다.
ωp=(4πne2m)1/2

따라서 실수부만 고려한다면 다음과 같은 그래프를 얻을 수 있는데, 이 그래프는 절연체로 𝞽의 효과는 무시한 것입니다. 즉 주파수에 따라 reflected 되는 것과 propagate되는 경향이 달라지는데, 𝟄>0이면 전자기파 진행하고, 𝟄<0이면 전자기파가 반사 됩니다.
ω=ωp√ϵ1
에서 0을 지나고 변화합니다. 이때 분모에 있는것은 기본 유전율입니다.
허수부는 약간 다릅니다.

(그래프의 y축은 전도율입니다;;) 허수부는 완벽히 금속을 의미한다고 보면 됩니다.
σ1=σ01+ω2τ2
로 일반적인 금속의 파라미터를 적용해본다면
τ≈10−14, ω∼1014s−1, f=1.6×1013Hz
으로 𝞽효과가 반드시 필요하므로 𝞽를 고려하여 다시한번 구해보겠습니다. 즉 metal을 가정합니다.
ϵ=ϵ∞−ω2pω2+iω/τ
=ϵ∞−ω2pω2+1/τ2+iω2pτω(1+ω2τ2)
ω2p=4πne2m∗
σ0=ne2τm∗=14πω2pτ
으로 정리 할 수 있습니다.
이제 전기장을 가했을때 Dipole이 일어나는 것을 보겠습니다. 바로 물질의 전하의 분리가 일어나서 전기장을 depolarization을 시키는 것으로 P로 표현합니다.
D=→E+4π→P=ϵ→E
으로 D=0이면 𝟄=0이므로
→E=−4π→P=−4π(n(−e)→χ)
𝟆가 분극된 거리를 나타내는 항이므로 F=ma를 사용하여 표기하면
m∗d2→χdt2=−ne→E=−4πne2→χ
d2→χdt2=−4πne2m∗→χ=−ω2p→χ
→χ=χ0e−iω2pt
으로 에너지로 나타내면
→E=E0−nℏωp로 plasma frequency가 양자화 되어 계속 에너지가 감소하며 이정도는
L=−Im(1ϵ)로 plasma frequency의 배수열로 에너지 흡수가 일어납니다.
이를 plasmon이라 합니다.
이제 장파장 단파장에 따른 변화를 보겠습니다.
전기력에 따른 운동방정식을 세운다면
m¨x+γ˙x+kx=Fext
Fext=−eEe−iωt
→ (−mω2−iωγ+k)x0=−eE
의 기본식이 나오게 되는데,
km=ω2g, rm=τ
라 정의를 한다면
x0=−eE/m−ω2−iω/τ+ω2g
이고 이때 전기장에 의해 전하가 분리되어 생기는 polarization을 계산한다면
→P=−ne→x0=neτm→Eω2g−ω2−iω/τ
에서 위에서 굉장이 많이 반복한 dielectic 에 대한 식을 쓴다면
→D=→E+4π→P=σE, ϵ=1+4πDE
여기서 1대신에 high frequency dielectric function을 쓴다면
ϵ=ϵ∞+4πne2m∗ω2g−ω2−iω/τ
으로 two level system에서

전하가 쌓인것이 decay하는 시간이 𝜏인데 딱 걸리는 전계가
E=ℏωg일 때 전자가 들쓸수 있기 때문에 전도도가 증가합니다.
따라서 이 wg를 기점으로 반사율과 visible한 영역의 경향이 바뀌게 됩니다.

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