가우스 법칙(Gauss's law)

정의상 가정	전기장(electric field), 곡선좌표계미분(기울기 gradient, 발산 divergence, 회전 curl)
내용상 가정	대칭상태에만 적용 가능
공식
단위
응용

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어떤 전하가 어느정도의 전하량을 가지고 있습니다.

이 '전하량'은 독립적으로 어떻게 계산할 수 있을까요?

앞서 쿨롱의 법칙(Coulomb's law)에서는 중력을 측정한 것과 같게 단위 전하량을 정의하였습니다.

그렇다면 단위전하와 상호작용하는 측정된 힘을 가지고 어떤 전하의 전하량을 계산할 수 있습니다.

우연히도 이 '단위 전하와 상호작용하는 힘'은 전기장의 개념입니다.

따라서 전기장을 역으로 이용해

전기장을 퍼저나가는 모든 면적에 대해 합치면 그 안에있는 전하량이 되게됩니다.

외부에 퍼져나가는 전기장을 모두 더한 것이 전하가 만들 수 있는 모든 힘이고 그것이 전하량의 정의였으니까요.

이것이 가우스 법칙 즉 gauss's law입니다.

수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

이때 앞에 가 붙은 이유는 전하에서 전기장이 나올 때 공기중에 영향을 받아 영향이 감소할 수 있어서 상수를 붙이는 겁니다.

이 개념은 수식적으로도 풀이 될 수 있습니다.

q가 계 내부에 있을 때, q가 계 외부에 있을 때, q가 계 내부에 여러개 있을 때 입니다.

모두 전기장을 계의 경계에 모든 면적에 적분을 해보겠습니다.

q가 내부에 있을 경우

여기서 면적 방향과 r방향의 내적은이며 이것은 구로 정사영 시킨것과 같습니다.

즉 반지름이 r인 구로 치환할 수 있는 것이고

반지름이 1인 구에 접하는 면적을 soild angle라고 하고 대입하여 나온 값입니다.

q가 외부에 있을 경우

이때 전기장이 한면을 통과하고 들어가며, r과 a가 내적하여 치환된 구와 

나며며 치환된 구가 같아 빼면 0이된다.

q가 내부에 여러개 있을 경우

이다.

즉 결론적으로 전기장을 모두 더하면 계안에 있는 전하량을 모두 알 수 있습니다.

이때 gauss 법칙을 아주 미소한 범위에서 처리하면 어떨까요?

아주 작은 범위를 처리하기 위해 대상 전하의 위치를 이라하고 전기장을 계산하는 위치를 이라 정의하겠습니다.

다음과 같이 전기장이 표현됩니다.

앞서 곡선좌표계미분(기울기 gradient, 발산 divergence, 회전 curl)에서 계를 중심으로 밖으로 나가는 벡터를 다 더한 개념이 있었습니다.

바로 divergence의 개념이었습니다.(헷깔리신다면 위에 링크 쓱한번 보고 오세요!)

따라서 이 전기장의 벡터에 divergence를 하겠습니다.

이때 divergence는 오로지 의 변수로만 하는 것입니다!

또한 del에 관련된 성질중에 또한 dirac delta function 공식에서

이런 성질이 있습니다,

또한 3-D dirac delta function 공식에서(둘다 증명이 엄청 간단하지만 가치 없다 생각하여 생략하겠습니다.)

이런 공식이 있습니다.

따라서 이제 본격적으로 전기장에 divergence를 씌우면

미소 체적에서 가우스 법칙이 성립하는 것을 알 수 있고 다시 모든 것을 쭉 풀어 쓴다면

즉 임의의 체적 V에 대해 성립함을 알 수 있습니다.

번외로 여기 미소한 전기장에서 curl을 한다면 또다른 성질을 발견할 수 있습니다.

에서

공식에 의해 가 됩니다.

이는 curl의 확장 형태인 에서

이므로 한바퀴 돌때 더한 값이 0즉 보존 되므로 conservative field 즉 보존력이라고 볼 수 있습니다.