푸아송방정식(Poisson’s equation)/ 라플라스방정식((Laplace's equation)

요약

전위에서 전하를 유추하거나 전하에서 전위를 유추할 수 있는 식으로 앞에 정리를 수학적으로 정리한 것이다. 다시말해 어떤위치에 전위의 변화가 있을때 그 위치에는 어느정도의 전하가 존재하는 것이다. 라플라스 방정식은 이 전하가 0일때를 그린 식이다.

정의상 가정	전위(electric potential 전위차), 가우스 법칙(Gauss's law)
내용상 가정
공식
단위
응용

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앞서 전기장을 두가지 방법으로 나타낼 수 있었습니다.

한가지는 가우스 법칙으로 나타내는 것이었고   -(1)

다른 하나는 전위로 나타내는 것이었습니다.   -(2)

모두 쿨롱의 법칙에서 정의한 기호들 이지만 두 공식만 놓고 봤을 때는

수학적으로 연립방정식을 해보고 싶어집니다. 따라서 (2)식을 (1)식에 대입해 봅니다.

이것이 푸아송 방정식입니다.

즉 어떤 전하가 공간에 놓였을 때 그것에서 부터 파생되는 전위를 구할 수 있는 것입니다.

편미분 미방으로 풀어야 합니다.

만약 전하가 없는 의 경우에는 어떻게 될까요?

바로 이며 이것을 바로 라플라스 방정식이라고 부릅니다. 

다양한 상황을 해석할때 무척 도움이 됩니다.