격자(lattice)

정의상 가정	원자의 충전,  좌표계
내용상 가정
공식
단위
응용

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원자들은 일정한 규칙에 따라 충전을 하게 됩니다.

이 원자, 이온 또는 분자들은 이러한 충전의 연속으로 주기적으로 배열되게 되며,

이런 원자들이 규칙적으로 배열되어있는 고체를 결정이라 합니다.

이 결정에 대해 알기위해서는 결정이 구성되는 점인 격자를 알아야하며 이번에는 격자에대해 알아보겠습니다.

격자는 모두 결정을 설명하기 위한 것으로 결정을 대상으로 포스팅 하겠습니다.

결정은 3차원으로 이루어져있지만

이해를 돕기위해 2차원으로 먼저 논하고 3차원으로 확장하겠습니다.

다음은 흑연 원자들이 이루는 하나의 층인 2차원 결정을 보겠습니다. 사실 2차원 결정은 없지만 이해를 돕기 위해 설정하겠습니다.

위 그림을 보면 탄소 원자의 배위수는 3입니다. 위 그림의 모든 원자의 배위수는 동일합니다. 

그러나 자세히 관찰해 보신다면 배열의 종류는 두가지라는 것을 알 수 있습니다.

즉 위 그림의 M, P, B가 같은 환경에 있고, N, Q, A가 같은 환경에 있습니다.

즉 이 두가지 환경으로 나눠 두 환경을 모두 포함하는 하나의 단위를 정할 수 있습니다.

즉 층 내부의 원자들의 배열과 원자간 결합을 포함합니다. 

이런것을 OXAY로 선택했습니다. 이 OXAY만 이동시키면, 평면내의 모든 배열을 다 만들수 있습니다.

2차원이므로 평행사변형이 됬지만, 3차원에서는 단위 평행육면체로 볼수 있고 이를 단위포(unit cell)이라 합니다.

단위 평행사변형은 OX의 길이와 OY의 길이 OX와 OY사이의각으로 정위할 수 있습니다.

이 길이중ㅇ 가장 가까운 결합거리를 격자상수라 합니다.

이것을 좀더 정량적으로 나타내 보겠습니다.

바로 좌표계를 이용하는 것입니다.

즉 결정에 단위포의 형태가 정해지면 단위포내의 원자의 종류와 위치를 알아야합니다.

그렇다면 위 그림의 단위포인 평행사변형에서 모든 꼭지점에 원자하나씩이 있고 내부에 원자 하나가 있습니다.

그러면 좌표계를 적용하여 O원자에는 좌표 (0,0)을 부여하고 X원자 좌표에는 (1,0)을 부여할 수 있습니다.

위와 같이 Y원자에는 (0,1)을 A원자에는 (1,1)을 부여할 수 있습니다.

그렇다면 Q'원자의 좌표는 (1/3,2/3)입니다.

이렇게 한다면 원점의 위치와 Q'의 위치만 알면 됩니다.

즉 이차원 결정은 단위 평행사변형의 형태와 단위 평행사변형 내의 원자의 종류와 위치로 표시합니다.

이런 어떤 한점의 환경과 동일한 환경을 갖는 점들의 배열을 이차원에서는 mesh또는 net이라하고

3차원에서는 lattice라 하며 각각의 점들은 격자점이라 합니다.

이렇게 격자점들을 정의하였으면, 모든 격자점에 동일한 원자 집단을 넣는게 바로 전체 결정입니다.

아래그림을 보면 바로 이해가 될겁니다.

왼쪽에 있는걸 어떤 원자집단이라고 한다면 저것을 기저(basis)라 합니다. 예를들어 위 흑연에서

이 부분입니다. 이 basis가 격자점들마다 들어가서 전체 결정을 이루는 것입니다.

다음은 단위포(unit cell)에 대해 조금더 알아보겠습니다.

사실 규칙적인 격자점이 있다면 그속에서 unit cell은 여러가지가 나올 수 있습니다. 

다음그림을 보겠습니다.

모든 단위포(unit cell)를 평행이동한다면 전체 평면을 다 채울 수 있습니다.

이들중 가장 작은 부피를 가지고있는 것을 진짜 unit cell이라 합니다.

여기서 진한초록색 평행사변형 같이 단위포 내에서 격자점을 하나만 가지는(내부에 점이 없는) 것을 단격자 단위포(primitive unit cell)이라하고 단위포 내의 격자점의 총수가 2개 이상인 단위포, 즉 육각형으로 된 단위포와 빨간 직사각형 단위포 같은것을 다격자 단위포(non primitive unit cell)이라 합니다.

이제 3차원으로 확장해 보겠습니다.

3차원 단위포로 만들려면 당연히 축이 3개로 늘어나게 됩니다.

앞서 2차원에서 단위포를 표현하는 것은 아래 왼쪽 그림과 같이 원점과 격자점간의 거리, 그리고 축간 각도로따졌습니다.

3차원에서도 똑같이 위 오른쪽그림처럼, 결정축 x, y, z로 정의하고 축 사이의 각(axial angle)을 

로 정의합니다.

그리고 마지막으로 x, y, z축을 따라서 가장 작은 격자점들간의 간격을 a, b, c로 정의합니다. 

특히 a, b, c와 같은 경우 격자상수(lattice parameter)로 불리며, 이 격자상수가 바뀌는 것이 즉 원자의 화학결합이 바뀌는 것이고, 화합물과 복합체를 구분하는 것도, 섞인후 화합물은 a, b, c가 바뀌며, 복합체는 a, b, c가 바뀌지 않습니다.

아무쪼록 이렇게 하면 격자를 표현할 수 있습니다.

예를들어 염화세슘 CsCl을 보겠습니다.

이것의 unit cell의 상태는 입니다.

이때 Cl원자하나가 (0, 0, 0)에 있고, Cs원자 하나가 (1/2, 1/2, 1/2)에 위치한다고 표현할 수 있습니다.

이제까지 표현법을 보았으니 격자가 어떻게 분류되는지 보겠습니다.

결론부터 말하자면, 격자는 대칭(symmetry)으로 모두 정의가 됩니다.

다시말해 결정에서 원자의 대칭적인 배열을 대칭요소로 표현하는게 격자이므로, 

주위환경이 대칭 전후와 일치하는 것으로 모든 격자가 표현되어야 합니다.

대칭의 요소는 4가지가 있습니다.

1. 병진대칭(translation symmetry)

2. 회전대칭(rotational symmetry)

3. 경영대칭(mirror symmetry)

4. 반영대칭(inversion symmetry)

로 이 4가지 대칭요소를 조합하여 모든 격자의 가능성을 도출해 냅니다.

먼저 병진대칭을 보겠습니다. 위의 그림에서 한 점이 a, b, c의 단위 길이만큼 아무리 움직여도 이동전과 합동이 되는 대칭을 병진대칭이라 합니다.

그냥 익히 알고 있는 벡터에서 단위벡터로 이동한 것으로만 격자가 구성되어있다면 그것을 병진대칭이라 합니다.

회전대칭은 한 점이나 한 축을 중심으로 일정 각도로 계속 회전시킬 때 회전후에도 계속 합동이 되는 대칭 요소입니다.

즉 몇도 돌렸을때 이전과 똑같아지는지를 보는 것입니다.

위 그림의 맨 왼쪽은 360도를 돌려야만 똑같아 집니다. 이를 1중대칭이라 합니다.

두번째 그림은 180도를 돌려야 똑같아 지므로 2중 대칭이라 합니다.

세번째그림은 120도를 돌릴때 마다 같아지므로 3중대칭, 

네번째그림은 90도 돌릴때마다 같아지므로 4중대칭,

다섯번째그림은 60도를 돌릴때마다 같아지므로 6중대칭이라합니다.

사실 회전대칭의 가짓수는 이것말고도 더 많습니다.

그러나 격자를 구성할때는 위 5가지만 씁니다.

왜냐하면 병진대칭도 만족하고 회전대칭도 만족하는 경우는 위 다섯가지만 성립하기 때문입니다.

아래 그림을 보겠습니다.

즉 만큼 회전한 후에도 B는 A에 대해 병진 대칭을 만족해야합니다.

여기서 A와 A', A'와 A'', A''와 A'''간의 간격을 a라 한다면 B와 A', B'와 A''간의 간격도 a입니다. 이때 B와 B'간의 간격이 a의 정수배여야 병진대칭이 만족하게 됩니다.

으로 위 5가지의 각도만 나오게 됩니다.

경영대칭은 위 왼쪽그림과 같이 거울을 중간에 놓은것과 같이 어떤 면을 중심으로 면의 반대쪽으로 같은 거리만큼 이동시켰을때 합동이 되는 대칭입니다. 또한 반영대칭은 오른쪽그림과 같이 어떤 점에서 같은 거리이면서 그점을 통하여 반대쪽으로 이동하였을때 합동이 되는 대칭요소입니다.

즉 회전대칭축을 중심으로 180도 회전후 회전 대칭축에 수직인 변으로 경영대칭한것과 같습니다.

이 네가지 대칭을 만족해야하며, 3차원에서 이를 만족하는 모든경우에 수를 따져 보면 격자는 7가지가 나옵니다.

3차원으로 7가지가 나온다는 원리를 보기전에 간단하게 2차원에서 5가지가 나오는 것을 보겠습니다.

물론 2차원은 어디까지나 원리를 이해한다는 개념으로 보는 것입니다.

(a)의 경우 회전 대칭과 병진대칭을 만족하는 것으로 a ,b길이가 다르고 γ값이 임의의 각인 경우로 이중대칭축이 있습니다.

(b)에 경우에도 회전대칭+병진대칭으로 a=b이고 γ=90인 정사각형 격자로 각 격자점 중심에 4중대칭 축이 있습니다.

(c)에서는 회전대칭+병진대칭의 조합으로 γ=60 a=b으로 a=b이고 γ=120인 것과도 같습니다. 120도의 경우에는 6중대칭축이 있고 60도에서는 2중대칭축과 3중대칭축이 같이 있습니다.

(d)은 병진대칭과 경형대칭이 만족하는 것으로 a와 b는 같을 필요가 없고 γ=90이고 경영 대칭면 교차점 2-중 대칭이 존재합니다.

그에반해 (e)는 중심 직사각형 격자가 있어 격자점과 격자점 중간에대 이중대칭축이 존재합니다. 다시말헤 (d)의 격자에 중심에 하나의 격자점이 하나 더있는 겁니다. 이렇게 하면 다격자 단위포가 만들어집니다. 그중한개는 a=a입니다.

즉 모양차이도 차이지만 어떤 회전과 어떤 대칭이 결합되었나로 구분하며 각도 외에 전체적인 모양으로 결정합니다.

이러한 원리를 3차원에 적용시켜보겠습니다.

먼저 회전대칭에 대해서 본다면, 아래 그림과 같게 각 대칭축 A, B, C가 있는데 구의 중심점을 O라 하면, ∠BOC를 u라 하고 ∠COA는 v이고 ∠AOB를 w라 하고 OA를 축으로 회전하는 각을 α OB를 축으로 회전하는 각을 β, OC를 축으로 회전하는 각을 γ라 한다면, 아래그림 오른쪽 표와 같이 회전을 나눌 수 있습니다. 이때 A, B, C의 224, 222와 같은 것은 회전축의 조합을 나타내는 것으로 예를들어 224의 경우 2-중, 2-중, 4-중 회전축의 조합이라는 의미입니다.

이때 사방정은 orthohombic, 삼방정은 rhombohedral, 정방정은 tetragonal, 육방정은 hexagonal, 입방정은 cubic이라 합니다.

위 오른쪽 아래그림과 살찍 비교해보시길 바랍니다.