operator

요약

슈뢰딩거 방정식의 어떤 꼴 에서 []내부에 있는 것을 operator라 하고 로 표현한다. 즉 operator는 식의 형식에 따라 달라질 수 있고 이름도 다르다.

정의상 가정	born's statistical interpretation 운동량(momentum) , del
내용상 가정	운동량과 x의 기대치의 형태로 과감한 일반화를 진행한다. 모든 경우는 idealtical, independant event로 일어난다.(drgodicity system)
공식
단위
응용	energy eigenstate

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

전자가 위치할 확률을 이론적으로 정의한 Born's statistical도 결국엔 확률이므로 기대값(expectation)이라는 개념을 생각할 수 있습니다.

즉 확률에 값을 곱하는 것입니다.

이 x에 대한 pdf이므로 기대치는 다음과 같습니다.

입니다,

즉 주사위를 예로든다면 수백개의 주사위를 한꺼번에 던지고 그 결과를 조사하는 것입니다.

그렇다면 velocity에 관한 기대값은 어떨까요?

이때 적분과정은 단순한 부분적분 두번 쓰는 것으로 생략했습니다.

velocity에 질량m을 곱하면 운동량이 므로 운동량에 대한 기대값도 표현 가능합니다.

이제 뭔가 규칙이 보이기 시작했을지 모르겠지만

지금까지 유도한 바를 보면 x, 속력, 운동량으로 넘어갈 때 

의

[ ]내부만 바뀐것이 보입니다. 이 [ ]안에 들어가는 것을 operator라 부르고 

로 표현합니다.

즉입니다.

과격한 일반화를 진행합니다.

모든 dynamic variable Q에 해당하는 operator를 정의하여

라 정의하는 겁니다.

이에 따라 운동E는 라 볼 수있고

operator는 입니다.

이때 운동E의 operator의 형태가 쓰이는 부분이 있는데

바로 슈뢰딩거방정식에서

중간항

에서 운동E의 operator가 있고 우연히도 위치에너지의 항이 있습니다. 따라서 이 둘을 더했으므로 hamiltonian operator라 이름을 붙였습니다.

따라서  이 되며 위 슈뢰딩거 방정식을 간단히 hamiltonian operator를 사용해서

로 표현 가능합니다.

지금까지 사항을 3차원으로 변환시키는 것은 미분을 단순히 del로 변환 시키면 됩니다.