energy eigenstate

요약

측정한다고 하면 항상 똑같은 에너지가 나오는 것을 표현한 것입니다. 즉인 특별한 경우를 지칭합니다.

정의상 가정	시간 독립적 슈뢰딩거 방정식(TIme-independent Srödinger equation), operator, born's statistical interpretation, 연속방정식(Continuity Equation)
내용상 가정
공식
단위
응용	시간 독립적 슈뢰딩거 방정식(TIme-independent Srödinger equation) 퍼텐셜 우물(infinite potential well)_probability amplitude

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

이 energy eigenstate는 측정한다고 하면 항상 똑같은 에너지가 나오는 것을 표현한 것입니다.

즉인 특별한 경우를 지칭합니다.

위치 변수에 대한 시간 독립적 슈뢰딩거 방정식의 해는

다음과 같습니다.

기억이 안나신다면, 시간에 독립적이므로 본 슈뢰딩거 방정식의 나머지항이 변화하지 않아 상수 E로 두었습니다.

이때 [ ]안의  두번째항은 potential energy라는 것은 자명하며,

첫번째항  은 운동량의 operator를 생각해본다면,

운동에너지라 볼 수 있습니다.

즉 내부의 항은 Hamiltonian operator가 됩니다. 편의를 위해 Hamiltonian부터 다시쓴다면

아래의 식은 이 H의 eigenstate라 불리며 energy eigenstate with energy E라 표현됩니다.

즉 앞선 시간 독립적 슈뢰딩거 방정식(TIme-independent Srödinger equation)에 의해 

가 도출됩니다.

이 eigenstate는 언제 쓰일까요?

수소원자의 경우 

에서 에 풀면

energy level의 energy들을 구할 수 있습니다.

이때 가 energy eigenstate라는 것은 

에 더불어 

에 의해

의 성질도 포함합니다.

이때 E가 복수소가 될 수 있을까요??

양자역학이라는 것도 복소수의 물리학적 의미를 엎고 달성한지라 이 에너지의 상수값도 E라는 것을 증명하는 것은 매우 중요합니다.

위 식에 어떤 물리량을 E의 켤레를 취해 계산한다면

이때 적분 내부에

부분은 서로 같다고 볼 수 있습니다.

그렇다면 적분 내부에 다른 항은 어떻게 될까요?

부분적분을 써서 같다는 것을 간단히 알 수 있습니다.

이때 앞선 시간 독립적 슈뢰딩거 방정식(TIme-independent Srödinger equation)에서

이었으므로 입니다.

따라서 E는 실수값이 됩니다.

여기서 주의해야할 성질중 몇가지를 보자면

에너지 H는 위치에너지의 최소값보다 커야 합니다.

즉 에너지

의 경우 만약 보다 작으면 운동에너지가 (-)가 됩니다. 

즉 이어야 하며 이게 안된다면 

는 normalized되지 않습니다.

즉 그래프 아래로 삐져나갈수 없습니다.

하지만 그래프 옆으로는 삐져나갈수있습니다.

그것이 고전역학과의 차이점입니다.

고전역학의 경우 turning points 바깥에서 에너지가 존재할 수 없습니다. 왜냐하면 Kinetic energy가 음수가 되기때문입니다.

그러나 양자역학의 경우 kinetic energy가 <0인 경우에도 존재할 확률이 있습니다.

또한 이제 왜 orbit electron이 EM wave를 방출하지 않는지 해결할 수 있습니다.

먼저 EM wave가 방추로디지 않으려면 전류밀도의 변화가 있으면 안됩니다.

전류밀도의 변화를 확인하는 가장 간단한 방법은 바로 continuity equation을 확인하는 것으로,

에서 확인 가능합니다.

여기서 는 charge이고 J는 current density인데 입니다.

이때,  이 stationary state이기 때문에 이고

또한 born's statistical interpretation에서 정의한 연속방정식에서 이 연속방정식에 변화가 있는지 확인할 수 있습니다.

즉

 는 일딴 time에 independent하기 떄문에 즉 infinite life time을 갖는 다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 이고 이는 electrostatics적으로 모든 전하가 정지해 있으며, 혹은 magnetostatics적으로 steady state current가 흐른다면 static한 E field와 magnetic field가 흘러 EM wave의 방출은 없다고 알 수 있습니다.

다시말해 QM의 energy state는 stationary state이고 전하, 전류는 steady state이므로 maxwell eq에 의해 EM wave방출은 없습니다.