불확정성 원리(uncertainty principle)

요약

지극히 자연적인 원리로, 측정장비가 아무리 좋아도 불확정성 원리를 넘어 정밀하게 측정할 수 없다

정의상 가정	born's statistical interpretation, operator,  드브로이 방정식(de Broglie wave)
내용상 가정	Commutation relation_ladder operator, creation operator, annihilation operator formalism_Hilbert space, dirac notation
공식
단위
응용	이중슬릿 Thin Film Insulator_Capacitor(박막 커패시터)

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불확정성원리라는 것은 말 그대로 확정을 할 수 없다는 뜻입니다.

즉 지극히 자연적인 원리로, 측정장비가 아무리 좋아도

불확정성 원리를 넘어 정밀하게 측정할 수 없다는 이론입니다.

다음 두 파를 보겠습니다

이때 born's statistical interpretation의 원리로보면

파의 제곱이 입자가 위치할 확률이 됩니다.

그런 관점으로 보자면 P파의 경우 어느 위치에 입자가 있는지 확실합니다.

하지만,  P파의 경우 얼마의 파장을 가졌는지 알기 애매합니다.

S파의 경우 파장은 확실히 알겠으나 입자가 어느 위치에 있는지 모호합니다.

이때 입자를 논할때 파동을 쓰기 개념이 애매하기 때문에 드브로이 방정식을 이용해 운동량으로 변환시키겠습니다.

즉 

이때 파장과 운동량 모두 natural dynamic variable이기때문에 대신 관심있는 variable인 p를 사용하여 경향성을 파악할 수 있습니다.

이때 particle의 분포가 normal distribution 이라고 가정해보겠습니다.

따라서

이때 위치 x에 대한 분산은 

다음으로 운동량에 대한 분산을 보겠습니다.

입니다. 앞항 뒷항 모두 계산해 본다면 가 even function이므로

입니다.

따라서

 

이때 운동량에 대한 분산과 위치에 대한 분산을 곱하면 다음과 같이 상수가 나오게 됩니다.

이때 수학적으로 gaussia일때 분산이 가장 작다는 수학적 내용이 있어 방금 계산한 값이 모든 확률밀도 함수 꼴에서 가장 작은 값으로

입니다.

 

입자의 위치를 정확히 안다면 필연적으로 입자의 운동상태를 표상하는 운동량의 범위가 엄청나게 커지게 됩니다.

위치와 운동상태를 동시에 절대로 알 수 없습니다.

이런 상태를 안다는 개념은 바로 측정과 연관지어 생각해야만 합니다.

측정이란 무엇일까요? 바로 무언가를 객관적으로 확인하는 것입니다.

이 측정의 issue에는 precisim과 accuracy가 있습니다.

즉 precisim은 data가 많아 sample의 양이 많아야 신뢰가 있다는 것입니다.

다른 하나 accuracy는 sample에 bias가 있으면 안되는 것입니다. 만약 random number sample에 어떤 요인이 작용해 치우친 결과가 나온다면 이또한 잘못된 실험이니까요.

여기에 추가로 resolving power문제가 있습니다, resolution이라고도 합니다.

이게바로 uncertainty principle의 문제인데 예를들어 멀리있는 별을 본다고 할때

두 별이 가까이 있다면 한개의 별처럼 보일 것입니다. 

이는 많이 본다고 2개로 보이는 것도 아닙니다. 단지 한개로 보이는 별만 많이 보이겠죠.

그렇다면 어떻게 2개로 볼까요?

 따라서 다음 단일 슬릿 실험을 보겠습니다.

가장먼저 이 실험에서 우리는 광자(photon)이 슬릿의 a거리중 어느위치 x를 지났는지가 궁금합니다.

당연히 알수가 없음으로 이 x가 존재할 범위를 라 할 수 있습니다.

이제 이 빛의 경우 z방향으로 진행하는 파장를 지나고 있을 텐데 

파동을 입자로 변환시키는 드브로이 방정식에 의해 이 빛의 운동량을 이라고 볼 수 있습니다.

이때  처음 빛의 세기가 0이되는 지점까지 이루는 각을 라 할 때

다음과 같이 운동량의 분산은 p값의 tan와 같으므로

즉 운동량 p가 빛의 세기가 퍼져나가는 정도를 유추할 수 있습니다.

이때 a의 변화에 따른 영향을 논하기 위해 단일 슬릿에서 처음 빛의 세기가 0이되는 지점의 

라는 식이 있습니다.(이중슬릿 참조)

따라서 a가 줄어들면 x찾는 범위가 줄어드는 대신 각이 커져 운동량의 범위가 넓어지게 됩니다.

즉 둘을 곱하면 

즉 다음 그림이 별의 빛의 분포라면 가 만족해야 별이 보입니다. 

그러나 이것들은 특정한 경우에서만 적용되는 uncertainty principle이고 이를 일반화 시킬 수 있습니다.

은 다시말해 

인데, 이제부터 이 분산을 정의할 수 있는데

입니다.

만약 A, B라는 대상이 있다고 할때 A와 B가 commute하지 않는다고 가정하보겠습니다.

즉 [A, B]=0이라 할때

AB=BA이므로 이런 상황에선 eigen value는 다르더라도 eigen vector는 같을 수 있으므로 

이고, 이로 분산을 계산할 수 있으나 내부 값이 같은 측정값이 되어

으로

이 되어 uncertainty principle을 만족하지 않습니다..

따라서 한가지 가설이 나오게 됬는데

다 측정값이 commute하지 않을때 uncertainty principle이 발생하지 않는다는 이야기가 나왔습니다.

즉 앞으로 전개할 증명을 거친다면

을 증명하여 uncertainty principle을 이론적으로 증명할 수 있습니다.