Commutation ( commutator ) relation_ladder operator, creation operator, annihilation operator

요약

The harmonic oscillator (in quantum mechanics)를 algebraic 방법으로 똑같이 해석한 것으로 operator의 관계식인 commutation relation을 사용하여 간단하게 정리 할 수 있다.

정의상 가정	The harmonic oscillator (in quantum mechanics), operator
내용상 가정
공식
단위
응용

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앞선 The harmonic oscillator (in quantum mechanics)를 algebraic 방법으로 똑같이 해석할 수 있습니다.

이때 해석하는 과정에 commutation relation이 등장하는데,

이것이 에너지의 생성과 소멸을 표현하는 엄청난 tool이 됩니다.

일딴 어떤 tool을 정의할때 언제나 그렇듯 일딴 약속을 하고 보겠습니다.

commutation relation은 두개의 operator A, B가 있을때 

[A, B]=AB-BA로 정의합니다.

다시말해

입니다. 이해를 돕기 위해 익히 쓰이던 예를 하나 들겠습니다.

이제 이 commutation relation을 이용하여 simple harmonic oscillator를 해석해보겠습니다.

여기서 simple harmonic oscillator는 SHO로 축약해 표현하겠습니다.

여기서 commutation relation 를 정의해보겠습니다.

다음과 같이 표현한다면 H를 commutation relation 으로 깔끔하게 표현할 수 있습니다.

이때 x와 p는 operator이기때문에 xp와 px는 같지 않습니다.

입니다. 

이때

를 정의하고 energy eigenstate와 같은 기능을 위해서 먼저 가정할 수 있는게 있습니다.

이떄 operator형태로 바꾸기 위해 commutation relation 을 operator로 변화시킨다면

단순히 운동량만 operator로 변화시키면 됩니다.

즉 모두 operator화 시킨다면 별로 변화하는것은 없습니다.

이를 이용하여 energy eigenstate를 구해보겠습니다.

commutation relation을 계산해 본다면(p를 operator라 보겠습니다.)

이와 같은 간단한 성질을 얻을 수 있습니다. 다음을 한번 계산해보겠습니다.

이제부터 나오는 G와 H는 모두 operator입니다.

이와 같이 반대부호의 operator도 적용하면

입니다. 이말은 즉슨 파동함수에 를 곱하면 

만큼의 energy quantum을 create하거나 destroy합니다. 

따라서 create하는 것 을 creation operator라하고

destroy하는 것 을 annihilation operator라 합니다.

여기서 과연 에너지가 어디서 부터 create되는지 궁금하게 됩니다.

왜냐하면 어디가 가장 낮은 에너지인지를 정확히 안다면 나머지는 만큼의 creation과 destroy이기 때문에 

모든 에너지 상태를 알 수 있습니다.

그 바닥 상태를 찾기 위해 만약 바닥상태에서 destroy가 발생한다면, 그 입자는 아예 존재하지 않는 파동이므로 0으로 볼 수 있습니다.

해는 Gaussian function으로 나오게 됩니다. 따라서 

으로 파동함수를 일반화 할 수 있습니다. 또한

이 성립되어 를 number operator라 합니다.

이제 이 식들의 normalization을 만족시키기위해

에서 normalize하고 싶은 을 위해 을 구합니다. 즉 가 normalize된다 가정하고 

여기서 을 구해야하는데 orthogonal성질을 이용해서 풀어보겠습니다.

이떄 의 정의에 의해 이므로

따라서 본식에 대입하면 일반해를 구할 수 있습니다.

이제 바닥상태를 대입해서 정리한다면 모든 에너지상태를 알 수 있습니다.

마지막으로 number operator의 orthogonality를 확인하겠습니다.

으로 성립합니다.