Delta function potential well_V=delta

요약

슈뢰딩거 방정식에서 위치에너지 V(x)가 delta function인 경우

정의상 가정	free particle_V=0 in Srödinger equation 퍼텐셜 우물(infinite potential well)_probability amplitude unit step/delta function
내용상 가정	delta function 좌우에서는 연속하다.
공식
단위
응용

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슈뢰딩거 방정식에서 위치에너지 V(x)가 delta function인 경우를 보겠습니다.

즉 입니다.

여기서 차원이 헷깔릴 수 있으므로 물리학적인 차원을 먼저 정의하고 진행하자면,

이때 임을 가정한다면

을 풀면 해를 구할 수 있습니다.

delta function 자체가 불연속한 값이므로 일딴 x=0이외의 값에서 계산을 진행하겠습니다.

즉 x>0일때와 x<0일때 값을 따로 따로 구해 x=0에서 연속한다고 구하며(delta function이 넓을때 연속하므로 간격이 좁아질때도 연속합니다....수학적으로 증명가능하지만 생략하겠습니다.)

이러한 관계를 만족시키기 전에 한가지 윗 식 자체에서 한가지 중요한 성질을 이끌어낼 수 있습니다.

윗식 전체에 delta function이 작용하는 작은 구간에 대해 적분을 씌어 보겠습니다. 작은 구간의 범위를 

이라 하고 적분하면

중간항은 delta function의 고유한 성질이고, 우변은 범위가 매우 좁아 0으로 수렴시켰습니다.

따라서 이는 delta function x=0에서 미분불연속이 되며 새로운 boundary condition이 됩니다.

에너지의 상태에 따라 해가 바뀌므로 에너지가 양인지 음인지를 나눠 계산하겠습니다.

E<0일때는

이라하고 풀어보겟습니다.

또한 x=0에서 연속이어야 하므로 A=B입니다.

위에서 정리한 식

에 의해 

이므로 A=B를 적용하면

입니다

즉 에너지를 다시 정의할 수 있는데

로 딱 한가지의 값만이 결정되게 됩니다.

이는 delta function이 너무 날카롭기때문에 한개만 존재한다고 보면 됩니다.

이를 bound state라 합니다.

이 운동에너지가 음수인 상황은 고전역학에서는 절대 존재할 수 없지만, 양자역학에서 살짝 존재할 수 있습니다.

그렇다고 안정적으로 존재할 수 있다는 것은 아닙니다.

위 그림에서 보이듯, 파동의 양이 exponential으로 감소하기때문에 금방 사라지게 됩니다.

그렇다면 E가 양수일 경우에는 어떻게 될까요?

이것도 x<0에서 x>0에서 나눠 진행해 보겠습니다.

이것은 앞서 다루었던 free particle에 대한 상황이랑 같습니다.

즉 이 해들은 normalize가 되지 않습니다.

따라서 미지수는 3개인데 식은 2개로 이 해는 구할 수 가 없습니다.

이런 난관을 해쳐나가기위해 한가지 상황만을 보겠습니다.

즉 여러 파 가운데 한쪽 방향으로 가는 파가 진행하여 delta potential well을 만나 반사되고 투과되는 상황으로 보겠습니다.

이렇게 하면 ratio를 알 수 있어 최소한의 파장들 간의 관계를 알 수 있습니다.

즉 위 boundary condition의 두개의 식을 서로 대입해서 풀면

으로 나와 반사계수 R과 투과계수 T를 알 수 있습니다.

이제 진짜 free particle식에 넣는다면

결국에는 푸리에 변환이므로, linear한 덧셈으로 전개가 나능합니다.

이 됩니다.

이는 선형 시스템과 같은 원리로 이해하면 됩니다.