The Finite Square Well_Tunneling

정의상 가정	free particle_V=0 in Srödinger equation energy eigenstate
내용상 가정	E>-V0 이다. E<0일때 energy eigenstate가 1개이다., V(x)는 finite
공식
단위
응용

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이번엔 finite potential well에 대해 다루어 보겠습니다.

앞서 infinite potential well을 다루었고, 경우에따라 delta function potential well, harmonic potential well을 다루었습니다.

즉 x<-a와 x>a일때는 potential이 0이고, -a<x<a일때는 potential이 -V0입니다.

논의는 Delta function potential well_V=delta과 같은방법으로 진행됩니다.

1. E<0일 경우

x<-a일 때

x>a일땐 위와 같이

입니다.

-a<x<a에서는 다음과 같습니다.

이때 이 well에서 V(-x)=V(x)이므로 이 항도 두번 미분하는 것으로 even입니다.

즉 가 even으로 E도 even이게 됩니다.

따라서

이므로 

둘다 답입니다.

따라서 linear differential eq에 의해 

입니다.

만약 E에 대해서  energy eigenstate가 하나 뿐이라면,

슈뢰딩거식에 상수가 붙은정도까지 해가될 수 있으므로

즉 한꺼번에 풀어도 되고 두개 나누어 풀어도 되는데 이번엔 두가지로 나눠풀기로 하겠습니다.

그럼 even으로 번다고 하면 미지수가 가 있습니다.

이때 는 에너지 eigenstate를 찾아야하므로 미지수가 됩니다.

여기서 boundary condition으로 x=a, x=-a에서 연속이고 미분한것도 연속인것으로 4개고

이때 또한 normalization으로 1개의 식이 나왔습니다,

식이 미지수 보다 많은게 이상한데 사실 even하고 odd하고 나누지않고 C를 고려한다면 5개 미지수와 5개의 식이됩니다.

이때 even으로 가정하였기에 boundary condition의 4개중 2개가 중복이 되고 boundary condition에서 식이 3개가 나오게 됩니다,

참고로 미분할때 연속이라는 것은 

으로 연속이 만족이 됩니다. 이때 V(x)가 finite하다는 것만 가정되면 됩니다.

이를 열심히 푼다면 해가 나오는데 물리학적인 해석을 위해 

graphic solution으로 그래프로 나타낼수 있는 해를 보겠습니다.

즉 먼저 좌변 tan에 대한 그래프를 그린뒤 우변에 그래프의 접점이 해가 됩니다.

먼저 좌변에 대한 그래프는

이고 우변의 그래프를 추가하여 교차점을 구한다면

으로 해가 나옵니다.

즉 이라면 potential well은 앝고 어떻게줄어들든 solution은 한개가 나옵니다.

만약  이면 infinite potential well과 같아져서 여러 구간의 에너지 상태가 나타납니다.(이때 even만 구했다면 반만 나옵니다. even과 odd상태 모두를 고려해야 infinite potential well과 같아집니다.)

또한 a를 줄일때 로 일정하도록 줄이면 delta function의 해와 같아집니다.

2. E>0

이 경우 free particle이 되어 normalize가 되지 않으므로 현상적으로 입사파가 날라와서 well에서 반사하고 투과하는 상황을 보았습니다.

완전히 Delta function potential well_V=delta과 같으므로 식 유도느생략하고 바로 해부터 보겠습니다.

즉 미지수는 이나 A=1로 두고 비율만 구하면 되므로 A는 미지수에서 제외하고, 

본 논의는 푸리에 변환된 free particle에서 특정한 한 k만 임의로 가져온것으로 k값은 마음대로 지정할 수 있어 이 k도 미지수가 아닙니다.

따라서 미지수는 로 x=a, x=-a에서 연속, 미분연속식 4개로 풀 수 있습니다.

이를 풀면

이때 어떤 특정한 에너지 상태에서 가 되어 T=1이됩니다.

즉 운동에너지는 

으로

 

로 드브로이 파장이 potential well의 간격의 정상파라면 입사파가 100%쪽 빠져나간다는 것입니다.

비슷한 예로 광학에서 두 거울이 빛의 파장의 정수배만큼 2a로 떨어져있다면 거울을 사이에 두고도 쓱 빠져나갑니다.

이러한 방식으로 여러가지 상황에도 적용될 수 있습니다.

먼저 a의 구간을 아주 좁게 줄인다면 Delta function potential well_V=delta이 됩니다.

또한 다음그림처럼 V를 양수로 한다면 

일정한 벽이 생깁니다. 이때 E<V라면 고전역학에서는 100%반사 됩니다. 그냥 벽에 공을 던지는 것처럼요.

그러나 계산해보면 알겠지만

으로 투과하는 것이 있습니다. 즉 장벽사이에서 

으로 감소하여 장벽을 통과하는 순간에도 투과할 확률이 있는 것입니다. 물론 이런 상황은 E가 V보다 쪼금만 아래 있거나 굉장히 폭이 좁을때 나타나게 됩니다. 

이러한 고전역학과 다른 상황을 tunneling이라 합니다.

위 그림과 같은 이 step function의 경우에도 아주 중요한 성질이 나타납니다. 이전까지 논한 potential well의 경우

장벽이후에 potential의 상황은 potential전과 같았습니다.

그러나 이 step function의 장벽과 같은 경우 

인데 이때 R+T=1이 성립하지 않습니다..

아주 기본적인 원리가 성립하지 않습니다.

왜그런것일까요????

사실 R+T=1이 성립하여야한다는 것의 이유를 생각해본다면

에너지보존법칙, 즉 보존법칙에 근거합니다.

따라서 flux로 정리하는게 조금더 근본적입니다.

이 되는게 맞습니다. 즉 flux는 속도의 개념이 들어가는데

에서

는 일정해야 하므로 속도가 변해 턱을 넘으면 느릿느릿하게 간다고 생각할 수 있습니다.

이때 R은 일딴 변함없기때문에 (k가 같기때문에)

T대신에

 를 쓰면 R+T=1이 만족합니다,

이때 또 신기한 성질이 하나 있습니다.

장벽을 지난 영역을 2영역이라 한다면

이므로 장벽지나고도 입자가 발견될 확률이 있습니다. 

그러나 flux의 관점으로 본다면

으로 2의 경우 장벽뒤로의 flux가 없어 입자가 장벽뒤로 가는 흐름은 없습니다.

즉 입자는 발견될 수 있지만, 입자가 가는 것은 없는 것입니다.

 

실제 tunneling을 구현한 소자의 경우 두 전극사이에 얇은 insulator가 있을때 흐르는 전류는

입니다. 이떄 ρ는 Density of State이고 (left, right) M은 통과확률을 나타내는 matrix이고 f는  fermi dirac function입니다. 이는 linear한 식이나 이는 물질별의 density of state의  영향을 고려하지 않았고 사실 interface와 density of state에 영향을 많이 받습니다.

추후 더 정확한 물리적 설명과 공식을 추가하겠습니다.

읽어주셔서 감사합니다!