unit step/delta function

요약

아래 공식과 같은 단순 수학적 정의

정의상 가정	공리
내용상 가정	작은 근사(연속에서 delta가  짧은 구간에서 0에서 1로 증가하는 함수 에서 정의)
공식
단위
응용

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delta function과 unit step function은 아주 자주 사용되는 수학적 정의입니다.

delta function은 이라고 표현하고

unit step function은 이라고 표현하겠습니다.

두가지를 같이 논하는 이유는 두가지 개념이 서로 엄청 관련되기 때문입니다.

이는 discrete(이산적인) 경우와 continuous(연속)한 경우로 나누어 정의하겠습니다.

먼저 discrete한 경우에는

다음과 같은 정의를 가집니다.

즉 그래프로 나타내면

다음과 같습니다.

delta function과 unit step의 관계는 당연히도

다음과 같습니다.

그리고 continuous한 경우에는 

(이때 는 짧은 구간에서 0에서 1로 증가하는 함수)

continuous의 경우 정의를 주의깊게 볼 필요가 있습니다.

먼저 

는 간단하게 이해할 수 있습니다.

그러나

이 과정에서는 가 0에서 불연속이기 때문에 미분이 불가능 합니다.

따라서 를 정의해야합니다.

앞서 보았듯  는 짧은 구간에서 0에서 1로 증가하는 함수입니다.

즉 이때 기울기를 라 정의하는 것입니다.

이것은 다시말해는 짧은 구간에서 면적 1을 가지는 함수 인 것입니다.

마지막으로 연속에서 두개의 관계는

입니다.

이때 continues한것과 discrete한 것을 구분하기 위해

discrete한 delta를 Kronecker delta

continues한 delta를 Dirac delta라 합니다.

이때 Kronecker delta의 dimension은 1이며, Dirac delta는 dimension이 1/L입니다.

이는 Dirac delta의 경우 적분항에 dx에 대한 항이 있으므로 u(x)에 dimension을 맞춰주기 위해 부여하는 것입니다.

이때 delta function의 경우 한번 탁 튀기는 꼴이므로 

딱 한번의 전압의 입력이라 볼 수 있습니다.

이를 단위 임펄스 라고도 합니다.