convolution

요약

두 함수의 상관관계의 척도로 계산하는 것으로 한 함수는 고정하고 다른함수는 y축 대칭하여 에서까지 이동하며 각 이동점에서 곱한것을 보는 것이다. 이때 구간별로 나눠서 계산하는 것이 중요하다.

정의상 가정	unit step/delta function
내용상 가정	작은 근사
공식
단위
응용

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Convolution이라는 개념도 어떤 공식을 정의한 것입니다.

바로 

이 공식인데요.

그럼 도데체 왜 이 공식을 정의한 것일까요?

바로 어떤 함수를 delta function 즉 의 집합으로 표현하기 위해서 만들었습니다.

이렇게 하고 각 항마다 배율을 다르게 조정하면

x를 입력으로 하고 y를 출력으로 하는 공식에 아주 간단히 적용될 수 있습니다.

좀더 정확하게 표현하자면 은 단위 임펄스라 볼 수 있으므로

기초적인 함수들을 단위 임펄스 집합의 시간에 따라 배율된것의 중첩으로 표현한다고 볼 수 있습니다.

무슨 말인지 x와 y의 관계를 생각하면서 보겠습니다.

먼저 입력 을 delta로 나타낼 수 있을까요?

delta에 대해 조금만 생각해보신다면

이렇게 쓸 수 있음을 알것입니다.

이떄 에 대한 , 즉 각각의 k에 대한 계수를 라고 한다면

으로 나타낼 수 있습니다.

이때의 본체가 의 계수이므로 배열의 성질로만 봤을때 k값에 따른 n-k의 변화 이므로

도 단순히 배열에 대한 n-k의 변화라고 볼 수 있습니다.

따라서 이라고 볼 수 있습니다.

즉  배열에 대한 정보만 알면 어떤 (input)이와도  output을 계산할 수 있는 것입니다

이때 를 system function이라 부르며 혹은 system, 혹은 filter라고 부릅니다.

이때 조금더 이상적인 계산을 위해 아주 짧은 임펄스를 적용할 수 있습니다.

즉 에서 으로 하는 겁니다.

이러한 경우 연속과 같게되어 이런 연속처럼 보이는 근사값을 

라 정의하면

이 되고 (discrete한 상황과 달리 delta값이 1이 되지 않기 때문에 로 했습니다.)

이 상황에서는 로 근사하여

인데 

이때에서 이라면 면적은의 경우 1이므로 근사에 의해 면적은

이고 나머지는 다 0이 됩니다.

따라서 입니다.

이를 Shifting property라고 합니다.

따라서 

입니다

수치적으로 보면 함수에 함수가 y축 대칭되어 점점 이동하여 겹치는 부분의 곱들의 합이라고 볼 수 있는데

함수의 범위를 정할때 이러한 방식으로 정하면 좋습니다.

예를 들어

에서 convolution을 하면

이 되어서 y축 대칭한 는

가 되어 위 그림으로 계산하면

이 답이 됩니다.

convolution은 앞서 본바와 같이 r=n-k로 치환하면 교환법칙이 성립하고

분배법칙이 가능하며 결합법칙이 가능합니다.

응답 system function의 가역 system function은 

인 이고 

system의 안정도는 

라면 안정함을 대입해본다면 알 수 있습니다.