푸리에 급수

요약

주기를 가진 함수를 나타내기 위한 하나의 수학적 툴 삼각함수로 이루어진 좌표계로 함수를 표현하며 이는 아래 공식과 같다.

정의상 가정	좌표계
내용상 가정	주기함수만을 다룬다
공식
단위
응용	단조화운동

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

푸리에 급수는 주기를 가진 함수를 나타내기 위한 하나의 수학적 툴입니다.

이 수학적 툴을 알기 위해선 좌표계를 살짝 다시 보는게 좋을 텐데요..

먼저 좌표계에 대해 짧게 알아보겠습니다.(깊게 알아보고 싶으시다면 위의 '정의상 가정'의 '좌표계'를 클릭하세요!)

좌표계를 정의할 때 아무렇게나 축을 잡아도 현상을 설명하는데 아무런 문제가 없었지만

직관적으로 가장 단순하고 명료한 방법으로 나누기 위해 직각으로 배치했습니다.

이때 좌표계에서 '축'은 '벡터'였습니다.

따라서 좌표계는 백터들의 조합인 샘이죠!

이 축들이 서로 직각이라면?

벡터에서 정의한 연산기호인 '내적'을 했을 경우 0이 되게 됩니다.

따라서 이러한 벡터끼리 내적이 0인 상황을 orthogonal이라 합니다.

푸리에 급수를 하는데 갑자기 했던이야기를 왜 또 하냐고요?

이 푸리에 급수가 좌표계 중 하나이기 때문입니다!

그러나 지금까지 한 점의 위치를 나타내는 좌표계와는 다릅니다.

이 푸리에 급수의 좌표계는 함수를 나타내는 좌표계입니다.

위치를 나타내기 위해 축들을 위치를 나타내는 벡터로 했으니.....

당연히 함수를 나타내기위한 축들은 함수이겠죠??(잘 이해가 안되면 좌표계를 어떻게 정의했나 생각해보시면 좋습니다!)

따라서 어떤 함수를 라 하고 을 나타내기위한 축을 각각 라고 한다면 다음과 같은 좌표축이 만들어집니다!

이때 조건이 있습니다!

바로 앞의 벡터의 좌표계처럼 축이 서로 orthogonal이어야합니다.

왜 여기서 까지 orthogonal해야할까요?

제가 생각하기로는 첫번째로 기존 축의 성질을 가장 잘 따라갈 수 있고,

두번째로 두 축은 관련성이 적은게 가장 좋기 때문인 것으로 생각됩니다.

(주기)함수관계에서 orthogonal은 을 만족하는 관계입니다.

앞의 항은 correlation인데 이는 두 함수가 주기 동안 얼마나 관련되는지 보는 것입니다,

이 관련성이 0이 된다는 것은 관련이 적다는 거겠죠?

여기서 을 특정한 함수로 정의하면 바로 푸리에 급수가 됩니다.

푸리에 급수가 주기성을 나타내는 힘수 를 나타내는 것이므로 도 주기성을 나타내면 좋을것 같군요.

그래서 그런지 푸리에 급수는 를 이라고 축을 정의 합니다.(n은 정수입니다,)

그래서 어떻게 하냐고요? n을 하나 하나 증가시키며 함수 에 매치되는 계수를 찾아냅니다.

그래프로 보고 이해하는게 좋겠네요

 

가 축으로써 어떤 변화를 가져야 할까요?

t에는 변화를 주면 안됩니다. 왜냐하면 '값'이 축이 되는것이 아니라 '함수'가 축이 되는 것으로

정의역을 바꿔서 축을 설정한다면 그저 '값'에 대한 축이 되겠죠?

따라서 함수 자체를 변화시키면서 축이 설정되어야 합니다.

을 자세히 보면 'n'이라는 변수가 있습니다.

계산해보신다면 (orthogonal)가 되는 데에는 n은 아무런 영향도 주지 못합니다.

(도 그렇긴하지만 푸리에 급수에서는 n을 쓰기로 정의했습니다.)

따라서 축이 하나씩 증가 될떄마다 n이 하나씩 증가되고(1,2,3,4,5,...)

함수 에 특정한 n에서 가 얼마나 매치되는지에 따라 상수 을 곱합니다.

즉 특정n에서 이라고 쓸 수 있습니다.

여기서 는 Fourier coefficients라 합니다.

우리는 함수를 나타내고 싶은거지 를 나타내고 싶은게 아니죠?

따라서 모든 n의 경우를 다 더해줍니다.

짠! 이것이 푸리에 급수입니다!

뭔가 함수 성분중 빠지는 성분이 있지 않을까 의심을 할 수 있으나,

맞습니다. 빠지는 부분이 당연히 있겠죠??

그러나

를 아주작게하고 n을 엄청크게 하면 작은각 근사에 의해 함수 와 같게 된다고 볼 수 있습니다.

테일러 급수 처럼요.

여기서 한가지 더 손볼게 있습니다.

 n=0이 되는 경우 주기적인 성분이 없고 일정한 값만 존재합니다.

따라서 n=0이 되는 순간의 값을 이라고 정의합니다.

이때 는 과 아무런 관련이 없음을 조심하시길 바랍니다!!!

그럼 최종적으로

이 되겠습니다!

그럼 이것의 의미를 한번 따져 볼까요?

주기가 T인 함수 가 주기 의 sin cosine함수의 합으로 나타낼 수 있다는 것입니다.

신기하죠? 어떠한 주기함수도 모두 sin과 cosine의 조합이라는게.....

따라서 간단한 주기인 sin과 cosine에서 모든게 시작되는 것입니다!!

이제 마지막으로  Fourier coefficients 를 구하면 푸리에 급수를 완성할 수 있겠죠?

를 구하는 방법으로는

sin, cosine의 특징인 '주기성'과 '우함수, 기함수'의 성질을 이용하면 됩니다.

이 우함수 기함수들을 -a에서 a까지 적분하면 어떻게 될까요?

이렇게 될겁니다.

참고로 우함수가 even, 기함수가 odd입니다.

이 성질을 이용하면 

에서 한번은 sin항을 기함수로 만들고 cos항을 우함수로 만들어 만 남겨 구할 수 있습니다.

기함수로 만들고 우함수로 만드는 것은

cosine과 sin곱은 기함수이고,

cosine과cosine, sin과 sin의 곱은 우함수라는 성질을 이용하면 다음 공식이 나옵니다,

이때 주기 단위로 적분하기 위해 n, m 이 정수라는 것을 고려해 로 t를 설정하면 주기단위로 적분 가능합니다!

(잘 안되신다면 중 고등학교 교과서를 참조하시기 바랍니다!)

이때 함수 는 주기함수이므로 한 주기만큼 성립한다면 계속 성립하는 것입니다!

따라서 에 n=0을 대입해보고(1)

를 곱해 주기 T만큼 적분한뒤 n=m으로 하고(2)

를 곱해 주기 T만큼 적분한뒤 n=m으로 하면(3)  

Fourier coefficients 를 구할 수 있습니다.

간단한 계산이므로 해보시길 권장합니다.

따라서 구한 식을 정리하면

입니다!!

복소형 푸리에 급수는 그냥 cos sin을 exponential 함수로 퉁지고 나머지 맞춰가는것을 cn에 넘겨줬다고 보면 됩니다!