좌표변환

정의상 가정	좌표계, 벡터
내용상 가정
공식	좌표계를 다른 좌표계로 변환하는 방법
단위
응용

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좌표계는 어떠한 상황에서 쓰일지 몰라

자유자재로 변환이 가능해야합니다.

이 좌표변환은

단순히 벡터의 성질만 알면 해결됩니다

그럼 가장 단순한 것부터 살펴볼까요???

직교좌표계에서 원통좌표계, 구좌표계로는 어떻게 갈까요??

원통과 구좌표계에서 직교좌표계와의 관계를 한번 살펴보겠습니다.

이 관계는 피타고라스 정리만 알면 됩니다!!

구좌표계먼저 볼까요???

한번 곁눈질로 봐도 삼각형을 그리고 피타고라스 정리만 써도 어떻게 되는지 알 수있겠죠???

원통좌표계도 똑같이 피타고라스 정리만 사용하면 됩니다.

즉 직교좌표계에서 원통, 구 좌표계로 가는 것은 피타고라스 정리만 알면됩니다.

좀더 일반적인 좌표변환 방법으로는 

벡터의 내적, 외적성질을 이용하는 것입니다.

좌표축은 결국 화살표를 가지고 있으니까 벡터라고 볼 수 있습니다.

즉 좌표계를 벡터의 조합이라고 생각해보겠습니다.

그렇다면 '벡터'에서 보았듯

내적의 성질만 잘 이용하면 좋은 결과가 나올것같네요.

다음 두 성질을 살펴봅시다.

1. 앞서 '내적'이란 한 벡터가 다른 백터에 직각으로 내려온다는 것이라고 논의했습니다.

2. 또 앞서 '좌표계'에서 좌표계는 3개의 벡터가 서로 직각으로 구성한다고 가정했습니다.

두 논의를 가만 조합해보면 만약 어떤 벡터의 조합으로 이루어진 점 P의 위치에

한 축의 벡터를 내적시키면 어떻게 될까요?

다시말해 에 를 내적시키면 어떻게 될까요?

답은 의 길이가 1이기 때문에 P의 벡터조합중 와 일직선인 성분의 길이만 남게 됩니다.

그렇다면 원론적으로 정의했던 좌표축의 정의에의해

이것이 직각좌표계의 축이 되겠죠?

이렇게 각각 따로따로 내적만 하면 직각좌표계로 좌표변환이 됩니다.

그럼 각 좌표계의 내적 외적 성질을 정리해 보겠습니다.

처음으로 직각좌표계입니다.

외적의 경우 정의한 방향을 따지면 x외적 y 했을때 z, y외적 z했을 때 x로 

xyzxyzxyz....로 앞에 두개하면 다음거가 나온다고 알아두시면 편합니다.

구좌표계도 마찬가집니다.

조금만 생각하면 직각좌표계와 내적관계를 알 수있습니다.

위에 표시한 2차원 직각좌표계를 참고하시기 바랍니다.

이 좌표계의 외적은

.... 로 됩니다.

원통좌표계도 동일하게 볼 수있습니다.

반대로 직각좌표계에서 원통좌표계로 갈때도 내적을 사용하면 편합니다.

앞의 내용을 읽었다면 다음그림이 확실하게 이해될것같네요!!