좌표계

정의상 가정	위치, 벡터
내용상 가정	좌표축은 직각(orthogonal)으로 이루어져있다고 가정한다.
공식	좌표축은 단순한 벡터의 조합이다.
단위
응용	좌표변환

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

어떤 점이 있습니다!

그럼 기준점으로 볼때 이 점은 위치가 있겠죠?

그 점을 어떻게 나타낼까요???

정말 여러가지 방법이 있겠지만

가장 쉽게 생각할 수 있는 3가지 방법이 있을 겁니다!

3가지를 보기전에 한가지 생각해야 해볼게있습니다.

우리가 무슨 숫자를 써서 어떤 점을 나타낼수있다고 할 때

그게 딱 그 점만 나타내는, 모든 점에도 적용 될 수 있다는 논리적인 근거가 무었일까요?

다음과 같은 벡터가 있다고 할 때 이를 '축'이라고 정의하겠습니다.

이 '축'은 벡터의 길이를 여러구간으로 쪼개어 정의하겠습니다.

이때 어떤 두 점이 같은 지점에 있지 않는 경우 (위치 '10'에 두점이 있지 않은 경우)

두 점은 절대 겹쳐질 일이 없습니다.

이걸 이차원으로 늘려 컴퓨터 스크린을 구성한다고 할 때

위 그림과 같은 축이 비스듬하게 배치되면 어떨까요?

이렇게 이차원을 구성하면 안되는 걸까요?

더 확실하게 보기 위해서 어떤 점을 나타내 보겠습니다.

그러면 주황색 축에서 10 초록색 축에서 10이 되겠네요. 

문제 없지 않나요??

네 몇번 해보시면 문제 없는것을 알 수 있습니다.

????

그렇다면!

우리가 초등학교때서 부터 줄기차게 배우는 축은

왜 직각으로(IT에서 자주쓰이는 용어로는 orthogonal하게) 배치하는 걸까요?

그것을 한번 생각해보기 위해

위 그림을 다시한번 자세하게 보겠습니다.

축을 나타내는 원리가 무엇인지 생각해보겠습니다.

만약 초록색과 주황색축이 비스듬한걸 넘어 일치한다고 생각해 봅시다.

그러면 이차원을 나타내지 못하고 일차원만 나타내게 됩니다.

즉 축을 나타낼 수있는 조건은 두 축이 방향면에서 달라야 한다는 것을 알수있습니다.

그럼 두 축이 방향면에서 달라짐으로 얻을 수 있는 효과는 무엇일까요?

이 '효과'야 말로 축을 나타낼 수 있는 핵심이지 않을까요?

그 '효과'는 가장 직관적이고 단순하게 생각한다면

초록색축이 주황색 축에서 높이를 만들어 내는 것으로 볼수있습니다.

즉 축은 어떻게 잡아도 아무런 문제 없지만

가장 직관적이고 명료하게 축을 설정한다면

서로 직각인 축으로 설정할 수 있습니다!

이렇게 탄생한 직교좌표계는 다음그림과 같습니다.

즉 3차원으로 3개의 좌표축이 직각을 이루게 됩니다.

다시 말하자면 3개의 지각으로 이루어진 벡터로 이루어집니다.

간단하게 사용할수있겠죠?

이때 좌표축의 단위벡터를 i,j,k라 하고

한 점P가 x축에서 2만큼 y축에서 3만큼 z축에서 4만큼 떨어져있다면

라 표기합니다.

다시말하지만 벡터의 조합으로 표기됩니다.

그렇다면 다른 방법에는 어떤 방법이 있을까요????

대표적인 방법으로 원통좌표계와 구좌표계입니다.

다시말해 직각좌표계가 직선으로 점을 나타냈다면

원통좌표계와 구좌표계는 점까지의 길이와 각도(방향)로 점의 위치를 나타냅니다.

구체적으로 어떻게 나타내나 알아볼까요??

구좌표계를 먼저 알아볼게요

다음 그림과 같이 한 점을 나타내기위해 중심을 좌표계의 중점으로 두고 한 점 P까지 뻗어있는 구를 그립니다.

중심에서 한 점 P까지 길이를 r이라하면

x축에 r만큼 떨어진 점을 설정하고

그 점을 xy평면에서 각 만큼 회전시키고 

회전시킨 위치에서 z축과의 각도가 를 이루도록 점을 회전시키면

공간상에 점 P의 위치를 나타낼 수 있습니다.

이때 각도도 벡터라고 나타낼 수 있습니다.

즉 원론적으로 말하면 각도를 표기하는게 화살표니까 벡터라 볼 수 있고

의미적으로 본다면 길이 벡터에 수직한 평면에 방향을 가지고 있고(각도의 방향)

길이 벡터의 길이를 유지하기 위해 각도 벡터의 길이는 1이 됩니다.

이때 길이가 2이며 가 3이고 가 4이면

라 표기합니다.

원통좌표계는 어떨까요?

이것도 구좌표랑 비슷하지만 약간 다릅니다.

이는 점 P를 나타내기위해

점 P에서 xy평면까지 정사영 시켰을 때 중심에서 거리를 라고 설정합니다.

x축에서 만큼 떨어져 있는 점을 각 만큼 회전시키고 

점 P의 높이만큼 올려 표현합니다.

이때 xy평면에서 거리 가 가 3이고 높이 y가 4라면

으로 표기합니다.

당연히 이도 벡터의 조합이고 모두 수직합니다!

마지막으로 미소한 범위에서는 어떻게 될까요??

미소한 범위를 알아야 미분, 적분이 가능하겠죠??

IT라는 학문이 작은 범위를 다루기 때문에

미소한 범위를 알아야 합니다.

이것은 직육면체를 생각하면 됩니다.

왜냐하면 앞서 각도도 벡터라 하고 길이도 벡터인데

세 벡터가 모두 직각을 이룬다고 했잖아요??

따라서 변하는 거리도(미소한 거리)도 직각을 이루며

각의 경우에는 길이를 곱해 단위를 길이 단위로 만들어 주어 사용합니다.