단조화운동

요약

가속도가 평형위치로부터 물체의 변위에 비례하고 변위와 반대방향으로 향한다

정의상 가정	복원력, 운동에너지, 위치에너지,푸리에 급수
내용상 가정
공식
단위	m
응용

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

인류는 복원력, 즉 '훅에 법칙'이라는 물리적 현상을 발견했습니다. 

우리는 복원력이 너무나도 특이한 현상이 있음을 알수있습니다.

복원력은 힘이 거리에 관계한다는 것인데 힘이 가속도를 나타낸 것이므로

가속도가 평형위치로부터 물체의 변위에 비례하고 변위와 반대방향으로 향한다는 특징이 있습니다.

정확히 이런 특징을 단조화 운동이라고합니다.

그런데 이게 도데체 왜 특이할까요??

이 정의 자체가 파동의 여러가지 개념을 간단한 수식으로 정의할 수 있기 때문입니다.

단조화 운동을 하는 축을 x라 할때 가속도의 정의를 따져본다면

-(1)

의 식을 쓸 수 있습니다.

이때 (1)식과 복원력의 정의인 F=-kx까지 F=ma에 대입한다면

-(2)

이라고 할 수 있습니다. 이떄 k/m을 이라고 정의하고 앞의 식을 쓰면

-(3)

입니다. 보이시나요? 보이시죠?

정확하게 미분 방정식입니다!!!

따라서 당황하지 않고 (3)식에  를 대입합니다.

계산을 해보셨다면 가 해가 됨을 알 수 있습니다.

여기서 주의 할 점은 미분방정식이라는게 정확한 해법이 없어 다른 해가 존재할 수 있습니다!!

삼각함수가 나와 너무도 당연하게도 등속원운동과 관계가있게 됩니다. 

원의 한 기준점은 일정한 각속도 w를 이룬다고 쳤을때 그림자 면과

이루게 됩니다..

입자가 원주위로 따라 움직일때따라서 단조화 운동은 원의 지름을 왕복하는 등속원운동 입자의 그림자라고 생각할 수도 있다.

이렇다면 이렇게 나온 의 물리적인 의미를 살펴볼까요??

먼저 x자체는 영락없는 '거리' 입니다.

따라서 m단위의 얼마나 떨어져있는 수치이고

이 x가 cos그래프를 따라 진폭이 A로(평형점으로 부터 최대 최소거리)

시간에 따라 인 시간이 한 주기 이므로 주기 T는 이게 됩니다.

는 t=0일때 초기상태로 초기 값이라고 하면 이해가 확 될것같습니다!!

간단하게 cos 그래프를 보겠습니다.

이때 w는 각 진동수라 부르고 진짜 진동수는 주기의 역수이므로 입니다.

이때 생각해볼게 하나 있습니다.

모든 단조화 운동은 sin과 cos일까요?

아닙니다!!

여러가지 힘이 작용하여 여러가지 sin과 cos이 섞여있으면 어떻게 할까요?

이 개념이 바로 푸리에 급수입니다.

즉 기본적인 sin과 cos이 합쳐져서

반복하는 모든 운동을 정의할 수 있는 것입니다.

따라서 단조화 운동은 반복하는 운동이 시간에 따라 퍼져나가는 현상이라고 바라보는게 맞습니다.

푸리에 급수를 사용하면 이라고 정의할 수 있겠죠?

단조화 진동자의 계는 외부에서 받는 힘없이 그냥 계안에서 다 일어나는 계이기 때문에

전체역학적 에너지는 일정합니다.

따라서 물체의 운동에너지는 이고 

복원력에 의한 위치에너지는 이므로

전체 역학적 에너지는 입니다.

이때 이므로 

단조화 진동자의 전체 역학적 에너지는 에너지는 으로 할정합니다. 진폭에 비례하여....

그러나 앞서 복원력에서 가정한 바와 같이 평형점에 가까울때만 성립하고 근사를 사용합니다....

 Q

훅의법칙을 만족하는 식이 삼각함수 밖에 없는지 의문일 수 있습니다.