곡선좌표계미분(기울기 gradient, 발산 divergence, 회전 curl)

요약

gradient는 아주 작은 구간의 3차원 기울기 divergence는 아주작은 미소한 점에서 벡터가 나가는 정도  curl은 각점의 벡터를 폐곡면으로 더한것->그 폐곡면이 회전할 수 있나 확인 가능하다.

정의상 가정	del, 좌표계
내용상 가정	divergence에서 작은 근사_직교근사(면적을 직육면체로 가정)
공식
단위
응용

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앞서 del에 대해서 살펴봤습니다. 이 새로 만든 수학적 symbol로 표현할 수 있는 많은 공식이 있습니다.

그중 가장 자주쓰이는 공식 3가지를 소개하겠습니다.

공식먼저 써보자면 다음과 같습니다.

여기서 Cartesian은 직교좌표계이고, Spherical은 구좌표계, Cylindrical은 원통좌표계입니다.

즉 각 좌표계에 맞게 위항목에 대입하면 됩니다.

그렇다면 이제 하나하나의 의미를 알아보겠습니다.

gradient() 즉 기울기는 앞서 del 의 정의에서 도출 되었습니다.

즉 del의 정의인

에서 는 변화가 큰 방향을 나타내며 그 방향의 변화율이라고 볼 수 있습니다.(이때 값이 0이면 값이 달라지지 않는다고 보면 됩니다.)

의미적으로 기울기라는 것에는 이해될것입니다.(아니라면 del의 정의로 가시면 됩니다!)

직교계 를 단위 벡터라고 쓴다면 어느 벡터나 를 써서 나타낼 수 있습니다.

그렇다면 아주 작게 이동한 길이 미소변위 벡터를

이라고 나타낼 수 있습니다.

이때 f,g,h는 좌표계의 특성을 나타내는 함수입니다. 즉 변수벡터를 위치의 값으로 변화시키는 역할 을 합니다.

구의 경우 이고

원통의 경우 입니다.

이때 함수 는  

에서 del의 정의대로 쓴다면

이를 위 식과 항등식으로 연결한다면

이 되어

기울기는 

입니다.

divergence(발산)은 del과 어떤 벡터의 내적 값입니다.

del이 뭐라고 벡터와 내적을 할 수 있을까요?

단순한 symbol인데....

즉 이것도 무엇인가를 내적한다는 의미가 아닌 하나의 symbol로 인식하시면 좋을 것 같습니다.

물론 내적에 공식 자체에 내적의 성질이 있지만, 자체에는 아무런 의미도 없습니다.

그럼 는 뭘까요?

는 다음과 같이 정의됩니다.

를 과 내적한것을 전체 면적에 대해서 더한것을 의미합니다.(적분이 더한다는 것을 의미하므로)

그다음 이 적분하는 대상의 크기(부피)를 아주 미소하게 줄여버립니다.

먼저 내적을 면적에 대해 더하는 것의 의미는 무었일까요?

다음그림에서 구의 면에있는 원자 하나하나에 대한 벡터값이 있다고 할때 이 벡터를 더한 것은

구 안과 밖의 경계에서 원자가 나가는 경향이 있는지 들어오는 경향이 있는지 본다고 볼 수 있습니다. 

이를 아주 미소한 부피로 줄여 점으로 만들면 벡터가 점에서 얼마나 퍼져나가는가를 가늠하는 지표라고 볼 수 있습니다.

따라서 발산이라는 이름이 붙여지게 됩니다.

인 벡터 함수를 정의할때 한 점 에서 각 좌표에 대해 차례로 아주 조금씩 늘린다고 할때 

생기는 작은 육면체를 감싼 표면의 적분 를 셈할 수 있습니다.

직교계이므로 세 모서리는 라 할 수 있고

부피는 입니다.

앞면이이며 뒷면은 부호가 다르고 입니다.

따라서 앞면과 뒷면을 더하면 의 꼴에 의해

가 됩니다.

이렇게 위 아래, 오른쪽 왼쪽 모두 더하면

이고 앞서 의 계수를 divergence라 정의하였으므로 

입니다.

위 그림처럼 미소한 것을 다 합치면 어떻게 될까요? 

부피가 조금씩 늘어가겠죠?

그럼 다음과 같이 될것이고 이것을 가우스 정리라 합니다.

curl은 del()에 이번에는 외적을 하는 것입니다. 

이것도 divergence와 마찬가지로 무엇인가를 외적한다는 의미가 아닌 하나의 symbol로 인식하시면 좋을 것 같습니다.

이것의 정의는 다음과 같습니다.

이것은 수식그대로 폐곡선을 따라 벡터들을 다 더한뒤 폐곡면이 이루는 면적을 아주작게 축소하는 것입니다.

이것은 한국어로 회전이라고 부르는데

회전이라고 부르는 이유는 따로 있습니다.

바로 회전 여부를 판가름 할 수 있기 때문입니다.

어떤것이 회전한다고 할때, 그것이 회전한다고 설명할 수 있는 이유에는 무엇이 있을까요?

회전하는 막대기가 하나 있습니다.

시계방향으로 회전하고 있는것 같긴한데 확인할 방법이 없습니다.

만약 막대기 끝쪽의 원자를 본다면 화살표 방향으로 원자가 움직이고 있음을 알 수 있을 것입니다.

그렇다면 막대기 외각 한바퀴 쭉 돌면서 원자들의 방향을 보면 어떨까요?

이 방향을 다 더했을때 >0이면 경로방향으로 회전, =0이면 회전 안함, <0이면 반대로 회전이라는 것을 알 수 있겠습니다.

다시 일반적으로 표현하면 함수를 폐경로에서 적분했을때를 보는 것입니다. 이 경로내부의 면적을 아주 작게 만든 것이 이 curl이랑 똑같습니다. 따라서 curl은 미소구간에서 회전여부를 판가름 할 수 있는 것입니다.

한 점 에서 출발하여 w점을 고정시킨 체 u와 v를 차례로 아주 조금씩 늘려 생기는 작은 고리를 따라 선적분

를 셈하면 

1번과정에서 이고 3번에서 부호가 바뀌며 이므로 더한다면

이고  2,4번도 동일하게 수행하면

w가 고정되어있는 상태에서는 

이며 이는 회전의 w성분으로 볼 수 있습니다.

똑같이 u를 고정시키고, v를 고정시키고 모두 해서 더한다면

이 됩니다.

번외로 이 정리에서 미소한 것들을 모아 넓은 범위로 확장시키면 어떠헥 될까요??

적분으로 curl을 더해보면

다음과 같이 도출되며 이것을 stoke's theorem이라 합니다.