교환 상호작용(exchange interaction)

정의상 가정	자기장(magnetic field)_비오-샤바르법칙(Biot Savart Law)_자석_패러데이 유도법칙 spin in quantum mechanics 격자(lattice)
내용상 가정	스핀 가 공간상에서 매우 천천히 변화한다. (연속체 continuum 가정)
공식	,
단위
응용	magnetic material_강반자성AFM(antiferromagnetic), 강자성FM(ferromagnetic), paramagnetic, diamagnetic, 자화에너지

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두 전자의 스핀이 반대방향이라면 두 전자에 작용하는 정전기적 척력인 쿨룽힘이 작아지고 같은 방향이라면 커집니다. 따라서 같은 방향이어야 에너지가 더 낮습니다.

또한 Hund의 법칙과 Pauli 배타원리에 의해 스핀이 paired되기보다 다른 궤도에 체워지는게 에너지가 더 낮습니다.

 

즉 두 스핀이 존재할때 서로 영향을 미치는 척도를 본것을 교환 자기장이라 하고 것은 인접한 두 스핀사이에 교환상호작용(exchange interaction)에 의해 발생한다는 용어를 붙입니다.

이 때 서로 영향을 미치는 힘을 나타내기는 복잡하므로 에너지로 나타냅니다.

이 에너지를 교환에너지라 하고 라 표현하겠습니다.

(또는 다음과 같이 표기 합니다 : )

인데 여기서 는 교환적분(exchange integral)으로 파동함수를 다양한 상호작용 위치에너지 항으로 적분한 것입니다.

대부분 고체는 가 음이고 강자성체는 가 양입니다.  가 양수이면 S가 서로 평행하다면 가장 낮은 교환에너지를 가지고 음수인겨우 S가 서로 반평행해야 낮은 에너지를 갖습니다.  이 크기는 원자 상호간 거이 r과 d궤도의 반경 에 관계하며 다음 그래프와 같습니다.

즉 과 가 전자의 스핀 각 모멘트인데, 이들이 평행해야 가 음으로 나와 에너지가 낮아집니다.
작은 사이즈로 확인해 보기위해 연속체 가정(스핀 가 공간상에서 매우 천천히 변화한다.)을 하면 교환에너지는

라고 볼 수 있습니다.(어떤 무시무시한 증명에 의해 유도되었습니다.)

 

는 교환상수(exchange stiffness constant)이며 결정에 따라 달라지는데,

결정
단순입방격자(simple cubic lattice)
체심입방격자(body-centered cubic lattice)
면심입방격자(face-centered cubic lattice)

이때 S는 스핀, a는 격자상수(lattice constant)

 

위 식을 이용하면 아래의 교환 자기장을 유도해 낼수있다고 합니다.

 

너무 두서없이 써놓은것 같은데, 정리해 보겠습니다.

먼저 앞서 말했듯 spin과 spin간의 힘이므로 서로 다른 두개의 스핀 벡터의 곱을 비례상수를 써서 표현하자면 다음과 같습니다.

여기서 스핀 백터간의 dot곱은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

따라서

입니다. H를 에너지로 변환시킨것이고, 이때 discrete한 것을 continues하게 변환하였습니다.

여기서 시사하는 것은, 오직 한가지 스핀만이 에너지를 갖는것이아닌, 스핀간에 tilting이 있어도 에너지가 있다는 것입니다.

추후 더 정확한 물리적 설명과 공식을 추가하겠습니다.

읽어주셔서 감사합니다!