de Haas-van Alphen effect (dHvA, fermi level-magnetic field interaction)_ Landau level

정의상 가정	Energy Band(에너지 밴드)
내용상 가정	Fermi surface임을 가정,-> 양자화 된것의 인접한 한개의 차이는 같은 k space의 area를 가정
공식	$$S(\frac{1}{B_{n+1}-\frac{1}{B_n}})=\frac{2\pi e}{\hbar c}~~or~~(\frac{1}{\Delta B})=\frac{2\pi e}{\hbar c s}$$
단위
응용

 

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자기장에서 원자의 orbit들은 Quntization됩니다. 양자역학에서 이를

$$\vec{P}=\hbar \vec k +\frac{q\vec A}{C}~~~(\vec{\nabla}\times \vec A =\vec B)$$

으로 표현하며, Bohr-Sommerfield relation을 적용하면 풀 수 있습니다.

$$\oint \vec P \cdot d\vec r =(n+\gamma)2\pi\hbar=-\frac{q}{C}\phi$$

입니다. 여기서 다음을 사용하면 자기장 자체로 정리할 수 있는데

$$\hbar \frac{d\vec k}{d t}=\frac{q}{C}\frac{d \vec r }{d t}\times \vec B \rightarrow \Phi_n=(n+\gamma )(2\pi \hbar c/e)$$

$$S_n=(n+\gamma )\frac{2\pi e}{\hbar c}B$$가 되고 이는 orbit이 Quantization 된것으로 볼 수 있습니다.(Sn 은 k space의 area입니다.) 여기서 우리가 보는 Fermi surface임을 가정한다면 양자화 된것의 인접한 한개의 차이는 같은 k space의 area를 가질 것 이므로

$$S_n=S_{n+1}=S=(n+\gamma )\frac{2\pi e}{\hbar c}B_n=(n+1+\gamma )\frac{2\pi e}{\hbar c}B_{n+1}$$

$$S(\frac{1}{B_{n+1}-\frac{1}{B_n}})=\frac{2\pi e}{\hbar c}~~or~~(\frac{1}{\Delta B})=\frac{2\pi e}{\hbar c s}$$

이다. 따라서 magnetic moment $$mu=-\frac{\partial u}{\partial B}$$는 자기장의 역수의 차이만큼 주기성을 가지게 되어 저온에서 fermi gas의 magnetic moment는 oscillating magnetic moment를 가지게 됩니다.

 

쉽게 말해 반도체 구조에서 저온에서 자기장을 변화시키며 에너지를 측정하면 진동하는 형태가 나오는 것입니다.

 

이론이 복잡하여 보여도 측정은 엄청나게 간단한데,

단순한 Bar 구조에 수직으로 자기장을 걸어두고 전류방향의 저항만 측정하면 됩니다. 외냐하면 자기장으로 변화할 수 있는 변수가 fermi area인데, 외부 자기장에 따라 이 area가 변화 하고 fermi level의 area 변화는 곧 condcutivity 이므로 이를 계산 할 수 있습니다.

Introduction to solid state physics, WS 2005/06, M. Wolf, sheet 8.11

fermi level은 위그림 오른쪽 같이 존재하며 자기장에 가해지면 다음과 같이 에너지 대역이 분리되게 됩니다.

또한 측정하면 왼쪽그림과 같이 주기가 나타나는데, 단순히 자기장에 따른 골의 위치만 파악하면 됩니다.