Energy Band(에너지 밴드)_Tight Binding Model

정의상 가정	Nearly free electron model_밴드갭(band gap)
내용상 가정
공식
단위
응용	de Haas-van Alphen effect (dHvA, fermi level-magnetic field interaction)_ Landau level

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

 

앞선 Nearly free electron model_밴드갭(band gap)에서 energy band가 어떻게 생기는지 포스팅 하였습니다.

본 포스팅에서는 이들을 이용하여 실재 물질을 설명하는 energy band의 상황별 model에 대해 살펴보겠습니다.

 

크게 Empty lattice approximation과 Tight Binding model, Orthogonalized plane wave(OPW) model가 있고 실험적으로 de Haas-van Alphen effect (dHvA, fermi level-magnetic field interaction)_ Landau level이 있습니다.

 

먼저 Empty lattcie aprroximation부터 본다면, 이는 free election으로

$$E_k=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$으로 원자와 전자의 interaction이 엄청 약함을 가정하고 관련된 항을 모두 무시하여 symmetry를 고려하는 것입니다. 즉 원자들 간의 symmetry인

$$E_n(\vec{k}+\vec{G})=E_n(\vec{k})$$

가 성립합니다. 다시말해 Nearly free electron model_밴드갭(band gap)에서 정말 많이 보았던 $$\frac{2\pi}{a}$$만큼 이동시켜도 같은 band가 존재하며 더 간단하게 그리면 repeated zone scheme이며 여기에 아까 무시했던 Interaction항을 고려하면 만나는 접점마다 degenracy가 발생하는 band gap이 나타납니다. 여기까지는 Nearly free electron model_밴드갭(band gap)의 설명과 같습니다.

 

물질의 상태는 전자들의 운동에너지와 격자의 potential energy가 결정합니다.

다시 말해 potential energy인 $$V\rightarrow E_g$$

보다 전자들의 운동에너지가 큰 V<<k의 경우 band gap이 없는 상황, 즉 도체가 만들어지고 이럴 경우에는 앞서 보았던 Nearly free electron model_밴드갭(band gap)로 설명합니다.

V>>k의 경우 Eg가 엄청 커져서 band가 좁아지는 절연체가 만들어 집니다. 이때는 본 포스팅에서 중점적으로 다룰 Tight Binding Model을 사용합니다.

 

Tight binding model은 periodic potential이 너무 강해서 한개의 전자가 원자게 강하게 묶여 있어 격자나 원자의 orbital 상태로 계산하여 더하여 해석하는 이론입니다.

다시말해 전자보다는 orbital에 맞추어 해석을 하는 것입니다.

전자가 구속된 wavefunction은 Bloch function의 한 center에 대한 periodic function $$u_k(\vec{r})$$을 모든 center에 superposing하여 계산합니다.

즉 atomic orbital에 중점을 맞춘 wave vector라 할 수 있겠지만 

Bloch function의 $$\psi (\vec{r})=u(\vec{r})e^{ik\cdot\vec{r}}$$의 형태를 유지하며 구조를 적용시켜  $$u_{\vec k}(\vec x)\sim \sum_i\psi (\vec r-\vec{r_i})$$으로 Bloch form으로 쓴다면

$$\psi_{\vec k}(\vec r)=\sum_{\vec k}e^{i\vec k \cdot \vec r}\psi (b \vec r -\vec k)$$

 

마지막으로 orthogonalized plane wave(OPW)로 plane wave인 free electron wave function을 적용하는 것으로 전자와 원자의 약한 potential을 가정하여 계산하는 것입니다. 아예 무시하는 것이 아닌 Empty lattice approximation와 Tight Binding model의 중간정도라고 생각하면 됩니다. 

따라서 near atomic core에서는 tight binding approx를 사용하고 이외에는 OPW를 사용하는것이 좋습니다.

임의의 지점의 wave function을 찾을때 plane wave를 정의하고 core level에서 orthogonalized를 취한다면,

$$\phi_k=e^{i\vec k \cdot \vec r}+\sum_i b_c\psi_{\vec k}(\vec r)$$

$$\int d\vec r \psi_k^* \phi_k(\vec r)=0\rightarrow b_c=\int d\vec r \psi_{\vec k}^* e^{i\vec k \cdot \vec r}$$

으로 구할 수 있습니다.