정공 ( hole )

정의상 가정	원자 드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility) Nearly free electron model_밴드갭(band gap) Effective Mass(유효질량)
내용상 가정
공식	$$\vec {k}_h=\vec{k}_e$$ wave vector가 전자와 반대
단위
응용

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원자를 이루고 있는 구성요소에는 전자와 원자핵이 있습니다.

전자, 원자핵.... 분명 이루고 있는 요소는 이 두가지 인데, 어느순간 "정공(hole)"이라는 단어가 등장하게됩니다.

이 정공(hole)은 무엇일까요??

이 개념은 원자 하나에 대해서 보는 개념이 아닙니다.

즉 수많은 원자들이 모여 있을때 나타나는 개념입니다.

수많은 원자가 모여있을때 전자는 무엇을 할까요??

바로 전류를 흐르게 됩니다!!!

아무래도 아직까지 전자공학에서는 고체를 사용하기때문에

원자들은 격자를 이루고 있을테고, 전자들은 개개의 원자에서 떨어져나와 큰 무리를 이루게 됩니다.

이때 전자의 무리가 모여 흐르는 전류라는 개념에

물리학적인 현상을 위배하지 않는 몇가지 트릭을 쓸 수 있는데,

 

먼저 전류의 상황을 보겠습니다.

다음과 같이 전류는 원자에서 전자가 떨어져나와 공간에서 흐르게 됩니다.

(사실 위그림과 같이 입자로 다니지는 않지만, 원자에서 나와서 흐른다는 의미는 같으므로 입자로 이해하겠습니다. 즉

드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility)로 이해하겠습니다.)

 

여기서 '떨어져나와 공간에 흐르고 있는' 이 자유전자는 원자에서 하나 떨어져나온것으로

그 원자 입장에서는 전자가 떨어져 나오면 전자 하나가 없는 상황으로 만들어집니다.

 

그렇다면 전자 하나가 없는 상황의 원자는 정전기적 인력으로 전자를 끌어당기게 되고 다시 전자를 받으려고 합니다.

 

만약 전자가 오른쪽으로 흐른다면, 즉 원자에서 떨어져나온 전자가 오른쪽으로 간다면,

그 원자는 아래 그림과 같이 그 원자 왼쪽에 있는 원자에서 떨어져 나온 전자를 받게 되고

그 왼쪽에 있는것은 그 왼쪽 원자의 전자를 받게 됩니다.

여기서 트릭을 하나쓸수있습니다.

분명히 전류는 전자로 구성되어 만들어지지만, 전자가 오른쪽으로 가는 경우 전자 한개를 잃어버린 원자가 점점 왼쪽에서 나타나게 된다는것을 알 수 있습니다.

이 전자한개 잃어버린 원자가 나타나는게 시간이 지날수록 왼쪽에서 나타나고,

원자를 구분할 수 없으므로 한가지 트릭을 쓸 수 있습니다.

즉 전자 한개를 잃어버린 원자가 왼쪽으로 이동하는 것처럼 생각 할 수 있습니다.

즉 이 전자 한개를 잃어버린 원자가 왼쪽으로 이동하는 것으로 전류를 나타내고자 했습니다.

이 전자 한개를 잃어버린 원자가 왼쪽으로 이동하는 물리량을 정공(hole)이라 합니다.

 

즉 실제론 전류를 직접적으로 구성하지 않지만, 표현하는 용도로 사용되는 상상속의 개념입니다.

 

그렇다면 이러한 원자무리에서 드문드문 전자한개가 없는 원자로 바꿔보겠습니다.

 

단 이때 이 원자는 다른 원자보다 전자가 하나 없는것 뿐이지 중성입니다.

 

즉 전자하나가 들어왔을때 원자는 음성이 됩니다.

 

즉 다음과 같은 상황에서는

기본적으로 전자를 받아들일수있는 원자들이 많이졌습니다.

이런 상황에서는 어떻게 될까요??

전류에 직접적인 원인이었던 전자가 많이 속박될 것이니까 전류 덜 흐르게 될까요?

 

여기서 잘 생각해야 할게 있습니다.

바로 자유전자는 그냥 생긴다는게 아닙니다.

즉 열에너지든 다른 에너지든 원자에 에너지가 주입되어야 전자가 튀어나옵니다.

이때 위그림과 같이 보통 원자들사이에 전자가하나가 부족해 전자를 갈구하는 원자들이 중간중간 있으면

보통 원자들이 갈구하는 원자들에게 전자를 주기위한 에너지가 적게 들고 쉽게 주게 됩니다.

즉 한 원자에서 다른원자로 전자가 이동하는 자체가 전자의 이동이고

이것이 전류이므로 즉 위와 같은 상황에서는 많이 흐르게 된다고 볼 수 있습니다.

 

다시말해 자유전자는 없지만, 전자를 갈구하는 원자들에 전자가 붙고 그 원자는 극성을 뛰게되어 전자가 떨어지기 쉬워

다른 전자를 갈구하는 원자들에게 이동하며 전자가 쉽게 이동하게 되는 이상한 현상이 벌어지는 겁니다.

이때 이동하는 전자를 "자유전자"로 표현하기에는 원래의 자유전자와 약간의 차이가 있으므로

위에서 정의했던 정공이 흐른다고 보는 것입니다.

 

다시말해 전자가 하나 부족한 원자들이 보이는 위치가 이동한다는 것입니다.

 

이것을 에너지상태로 보겠습니다.

 

즉 Nearly free electron model_밴드갭(band gap)로 본다면

으로 한가지 원자만 있을때는 전자가 자유전자가 되기위해 valence band의 전자가 conduction band로 올라가는 에너지가 있어야합니다. 다시말해 원자가 속박되어있는 전자가 외부로 나가야합니다.

이때 전자를 갈구하는 에너지가 첨가되면, 원래 원자에 valence band에 있는 전자가 옆 전자를 갈구하는 원자의 valence band에 결합되기 쉬워 쉽게 이동하게 됩니다.

이렇게 올라가면 흔히 말하는 원래 원자의 정공이 생기고 올라가기 쉽기때문에 정공이 엄청많이 생기게 됩니다.

전자와 연관하여 생각한다면 모든 물리량이 반대이기 때문에

$$\varepsilon_{\vec{k},h}=-\varepsilon_{\vec{k},e},~~ \vec{k}_h=-\vec{k}_e$$

으로

$$V_{ge}=\frac{1}{\hbar}\frac{d\varepsilon_k}{dk}=\frac{1}{\hbar}\frac{d(-\varepsilon_{kh})}{dk_h}$$

공간상에서 전자와 group velocity는 같습니다,

이와 같은 원리로 4가지 성질을 규정할 수 있는데,

$$\vec k_h=-\vec k_e$$

$$ \varepsilon _{\vec{k},h}}=- \varepsilon _{\vec{k}, e} $$

$$V_{gh}=V_{ge}$$

$$m^*_h=-m^*_e$$

이다.

hole의 갯수는 전자의 갯수를 구한는 것과 같이 density of state에 fermi Dirac distribution을 곱하여 적분만 하면 됩니다.

$$h=\int_{\Delta e}^\infty {D(E)f(E)dE_e}=\frac{1}{4}(\frac{2m^*_e}{\pi\hbar^2})^{\frac{3}{2}}(k_BT)^{\frac{3}{2}}e^{-\Delta h/kT}$$

참고로 이 식을 정리할때 

$$\xi =\frac{E_e-\Delta e}{k_BT}$$

를 정의하여 정리하면 좋습니다.

이 때 전자와 정공은 $$\Delta e$$를 $$\Delta h$$로 두 갯수를 곱한다면 Energy gap항이 되므로 intrinsic한 경우

$$\sqrt{np}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{2m^{*\frac{1}{2}}_e2m^{*\frac{1}{2}}_h}{\pi\hbar^2})^{\frac{3}{2}}(k_BT)^{\frac{3}{2}}e^{-E_g/kT}$$

입니다. 여기서 절대온다가 0이라면

$$\Delta e=\Delta h=\frac{1}{2}E_g$$

입니다.