ferromagnetic resonance (FMR)_magnetic resonance

 

정의상 가정	자기저항_거대자기저항(GMR)_AMR 스핀세차운동토크(spin precession torque) 스핀 홀 효과(spin hall effect, SHE)_Anomalous Hall effect(AHE) 잡음 (noise) 스핀궤도결합(spin orbit coupling) Zeeman energy (지만 에너지) 자화의 운동방정식(Landau-Lifshitz-Gilbert, LLG)_스핀 감쇠(spin damping)_ spin dynamics 스핀파(spin wave) _spin pumping, spin seebeck, magnon
내용상 가정	원자핵과 전자로만 구성되어있는 계를 가정한다.
공식	$$\chi=\frac{\gamma}{\omega_0^2-\omega^2}\begin{pmatrix}\omega_0 M_z & i\omega M_z \\-i\omega M_z & \omega_0 M_z \end{pmatrix}$$$$\omega_0=\gamma B_0$$
단위
응용

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자성체의 스핀을 알아보기 위해 상태 그대로 spin을 보기에는 아직 기술이 부족하므로, 외부에서 측정되는 것으로 예측합니다. 자주쓰이는 방법으로 스핀이 움직이는 상황을 만들어 놓고, 이를 검출하는 방법이 사용됩니다.

 

자성물질에 외부 자기장을 걸어두거나 자성물질 아래 금속에전류를 흘려 stray 자기장을 만들어 놓거나 Spin 전류를 주입하여 자성물질에 (유효)자기장을 가하게 되면 스핀에서 스핀세차운동토크(spin precession torque)가 발생합니다. 여기에 세차운동에 맞는 주파수의 전류나 다른 wave를 가한다면 spin 세차운동이 멈추거나 강해져서, anisotropic MR(AMR)이 작아집니다. 즉 voltage를 측정하면 갑자기 커지는 부근이 있을 것이므로 이때 이 주파수를 찾아내어 밝혀낼 수 있습니다.

 

사실 이때 여러가지 Signal이 검출이 되는데, 여기서 다룰것은 Ferromagnetic Resonance(FMR)이라는 물질내에 모든 Spin들이 phase difference가 없는 상황을 가정했을때의 움직임입니다. 다시말해 물질내에 이웃한 Spin들 사이에 세차운동의 움직임이 다르다면, 즉 Phase Difference가 있다면, 전체적으로 어떤 파동이 진행하는 것처럼 보일 것입니다. 이는 스핀파(spin wave) _spin pumping, spin seebeck, magnon의 포스팅에서 다룹니다. 즉 FMR의 경우 이 파동의 파장이 무한대인 상황, 즉 k=0인 상황에서는 Exchange Coupling이 일정하게 존재합니다.

다시말해 공간적으로 Uniform한 상황이고 따라서 공간적으로 균일한 에너지인, Magneto Crystalline Anisotropy와 Zeeman energy 그리고 공간적으로 분균일하지만 다음상황에선 고려해도 되는 Dipole-Dipole interaction을 고려하면 됩니다. 장황하게 써놨지만, 쉽게말해 모든 에너지 중에 Exchange interaction만 고려하지 않으면 됩니다.

 

 

이것의 물리적 원인으로 자기장이 인가되어있는 자성물질 내부의 전자와 중성자의 상호작용으로 Hamiltonian, 즉 에너지가 변화한다는 것입니다. 이 에너지는 전자의 운동에너지로 구성 되어있는데

$$H\sim -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$$

여러가지 많은 potential 에너지를 받습니다.(공식은 중요하지 않으니 그냥 흘려 넘겨주시고 궁금하시면 위 가정링크를 클릭해주세요!)

자기장 내부에서는 전자 하나는 다른 전자와 원자핵에 의한 potential energy를 받고 원자 외부의 전하때문에 받는 Crystal poential energy를 받습니다.(주로 결정에 의해 받습니다.)

 

또한 전자와 스핀이 상호작용하는 electron spin-orbit coupling인 

$$\frac{e\hbar}{2ml^2C^2}\vec S\cdot [\vec E\times(\vec P+\frac{e}{C}\vec A_0)]$$

$$when~\vec E(\vec r)=\frac{\vec r}{r}E(r)$$으로 간단하게 

$$H_{SO}=\lambda \vec L\cdot\vec S$$

가 있습니다.

 

또한 당연하게 electron spin zeeman energy가 있을 거고

$$\gamma _e \hbar \vec H_0\cdot \vec S$$

 

외부자기장으로의 electron orbital motion도 있으며

$$\frac{e}{2mC}(\vec P\cdot \vec A_0 +\vec A_0 \vec P)+\frac{e^2}{2mC^2}A_0^2$$

 

원자핵의 moment와 전자의 moement의 coupling도 있습니다.(보통 구조분석에서 나타나는 chemical shift)

$$\frac{e}{2mC}[(\frac{\hbar}{i}\vec \nabla+\frac{e}{C}\vec A_0)\cdot \vec A_n + \vec A_n\cdot(\frac{\hbar}{i}\vec \nabla +\frac{e}{c}\vec A_0)]$$

 

또한 원자핵의 moment와 전자 spin의 moment의 coupling이 있습니다.(Hyperfine coupling)

$$\frac{\gamma _e r_n \hbar^2}{r^3}[\frac{3(\vec I\cdot \vec r)(\vec S \cdot \vec r)}{r^2}-\vec I\cdot \vec S]$$

 

S-State에 대해 원자핵 moment와 전자 스핀 moment의 coupling도 따로 있으며,(Knight Shift)

$$\frac{8\pi}{3}\gamma _e r_n \hbar^2 \vec I \cdot \vec S \delta (\vec r) $$

 

외부 전하와 전자에 의해 field gradient에 대한 quadrapole의 moment의 coupling이나, 원자핵의 zeeman energy

$$-r_n\hbar \vec H_0\cdot I$$

 

그리고 원자핵들 간의 coupling 이나, 전자들간의 자기적 coupling 등등 많은 에너지를 고려해야합니다.

보통 외부자기장에 관련한 vector potential과 원자핵 moment에의한 자기장에 의한 vector potential로 나누어 한개의 Zeeman으로 퉁쳐 계산합니다. 

 

이때 파동으로 측정하는 것이므로, 

Continuous Wave(CW) 방법과, Pulsed(FT) 방법으로 나뉘는데,  CW는 signal이 에너지를 흡수하는 정도를 보는 것이고, FT는 magnetization이 감소하는 signal을 봅니다. 사실 두 방법은 Fourier의 관계를 가지고 있어 방식의 차이일뿐 사실은 같다고 보시면 됩니다.

 

그 예로 paramagnetic resonance라 하여 CW의 평형상태(steady state)를 생각해 볼 수 있는데,

외부자기장이 인가 되었을떄 magnetization은 자화의 운동방정식(자화의 운동방정식(Landau-Lifshitz-Gilbert, LLG)_스핀 감쇠(spin damping)_ spin dynamics)으로 표현됩니다.

$$\frac{\partial \vec M}{\partial t}=-\gamma \vec M \times \vec B$$ 

이러한 상황에서 물질의 자성은 Larmor Frequency를 가지게 되고

$$\omega _L=\gamma B$$

이때 자기장이 다음과 같이 z방향으로 걸린다고 할때

$$\vec B=\hat k\vec B_0+\vec b, ~~where~\vec b=\hat i\vec b_x+\hat j \vec b_y,~|\vec b|<<B_0$$

자성의 자화값음 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$$\vec M =\hat k M_z+\vec m ,~where~\vec m =\hat i m_x+\hat j m_y$$

따라서 운동방정식은

$$\frac{dm_x}{dt}=-\gamma (m_y B_0-m_z b_y)$$

$$\frac{dm_y}{dt}=-\gamma (m_z b_x-m_x B_0)$$

$$\frac{dm_z}{dt}=-\gamma (m_x b_y-m_y b_x)\approx 0$$

로 시간에 대해 정리하면

$$\vec b=\vec b_0 e^{i\omega t},~~\vec m=m_0e^{i\omega t}$$

로 x의 자화 값은

$$m_x=\frac{\gamma m_z}{\omega_0^2-\omega^2}(\omega_0 b_x+i\omega b_y),~~\omega_0=\gamma B_0$$

$$m_y=\frac{\gamma m_z}{\omega_0^2-\omega^2}(-i\omega b_x+\omega_0 b_y),~~\omega_0=\gamma B_0$$

입니다. 또한 정의상 susceptibility도 변화하는데,

$$\chi_{xx}=\frac{m_x}{b_x},~\chi_{xy}=\frac{m_y}{b_x}$$

$$\chi=\frac{\gamma}{\omega_0^2-\omega^2}\begin{pmatrix}\omega_0 M_z & i\omega M_z \\-i\omega M_z & \omega_0 M_z \end{pmatrix}$$

이므로 resonance frequency에 근접하면 susceptibility가 무한대가 되므로 자성을 exite 시킨다고 볼 수 있습니다. 이런 excite된 전자들은 일정 시간이 지나면 다시 원 위치로 relaxation 됩니다. z component의 경우 결국 본래의 자화로 돌아와야 하므로,longitudinal relexation time이 T1이라 한다면

$$\frac{dM_z}{dt}=\gamma (M\times B)_z+\frac{M_0-M_z}{T_1}$$

$$\frac{dM_x}{dt}=\gamma (M\times B)_x-\frac{M_x}{T_2}$$

$$\frac{dM_y}{dt}=\gamma (M\times B)_y-\frac{M_y}{T_2}$$

와 같이 x,y의 transverse한 항의 relaxation time은 더 짧거나 같습니다. 왜냐하면 z와 달리 thermal equilibrium이 0이기 때문입니다. 다시말해 외부자기장에 x,y에 직접적으로 영향을 미치는 것도 아니고 z에 가있는 것이 relatation만 하면 되기 때문입니다. 따라서 처음 상태로 돌아오는데 더 걸리는 T2를 dephasimg time이라 하고 이는 line width와 관계가 있습니다.. 다시말해 T1은 spin과 lattice에 대한 파라미터이고 T2는 spin-spin의 상호작용입니다.

 

이에 맞춰 susceptibility를 다시 쓴다면

$$\chi = \chi_0^ {'}+i \chi ^ "$$로 dispertion을 나타내는 한번 미분은

$$\chi^ {'}(\omega )=\gamma M_0 \frac{(\omega^2-\omega^2_n)T^2_2}{1+(\omega _0 - \omega  )^2T_2^2+T_1T_2(\gamma b_1)^2}$$이며 absorption을 나타내는 두번 미분은

$$\chi^"(\omega )=\gamma M_0\frac{T_2}{1+(\omega_0-\omega)^2\xi^2+T_1T_2(\gamma b_1)^2}$$

측정에 그래프에서는 Free Induction decay(FID)라 하여 시간에 따라 쭉 감소하는 거에서 fourier transform을 하면 line shape으로 나옵니다.

이 주파수 영역에서 line width가 broadening해지는 경우가 있는데, 바로 dipole과 dipole의 interaction이나, paramagnetic impurities 때문입니다.

$$B=\pm \mu\frac{3cos^2\theta-1}{r^3}$$

또한 좁아지는 경우도 있는데, 스핀의 운동에 의해 좁아집니다.

conduction electron의 경우 온도의 함수로 측정시 온도에 반비례하는 경향이 있는데, T1을 측정해보면 자기장이 커짐에 따라 증가하는 것을 알 수 있다. 특히 Zeeman quadrupole을 고려하여 주변 환경(도전율)까지 탐지할수 있습니다.