스핀파(spin wave) _spin pumping, spin seebeck, magnon

 

정의상 가정	스핀세차운동토크(spin precession torque) 교환 상호작용(exchange interaction) 자기장(magnetic field)_비오-샤바르법칙(Biot Savart Law)_자석_패러데이 유도법칙 free particle velocity_group velocity Nearly free electron model_밴드갭(band gap) 파 스핀 의존 터널링(spin dependent tunneling, SDT) _spin polarization_tunneling spin polarization,TSP
내용상 가정
공식	$$\vec E=\int_0^{\omega_m}\hbar \omega n g(\omega)d\omega,~n=\frac{1}{e^{\hbar\omega(q)}-1}$$ $$\Delta M=q\mu_B\int_0^{\omega _m}ng(\omega)d\omega \sim T^{3/2}$$
단위
응용

 

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Nearly free electron model_밴드갭(band gap)에서도 보았듯 전자는 파동이자 입자인 qusi particle이었습니다.

그렇다면 spin은 어떨까요?

spin은 자화의 운동방정식(Landau-Lifshitz-Gilbert, LLG)_스핀 감쇠(spin damping)를 정리하며 보았지만, 세차운동을 하고 있습니다. 

이 세차운동은 2차원적으로는 원운동이고, 원운동은 결국 파동과 같은 말이 므로 파동이라 규정할 수 있습니다.

이를 spin wave라 규정하고 spin의 집단적 거동으로 유도하여 정립합니다.

 

spin wave에 magnon이라는 개념과도 관련되는데, 스핀 의존 터널링(spin dependent tunneling, SDT) _spin polarization_tunneling spin polarization,TSP과 같은 터널링이 발생하면 터널링된 전자가 에너지를 잃으며 에너지를 방출하는 과정에 magnon이라는 파를 발생시킨다고 합니다.

이때 magnon은

의 에너지를 가져 spin을 한개 filp시킬 수 있습니다.

(한개의 스핀의 상태는

)

그러나 물질내에서 한개를 스핀을 filp시키기에는 이웃한 스핀들의 exchange interaction에 의해 (Heisenberg exchange=-2J Si Sj) 스핀 한개만 filp시키기엔 엄청나게 큰 에너지가 필요합니다.

따라서 이 의 에너지를 분산시켜 spin을  tilt시켜 놓는 것으로 에너지를 사용합니다. 이때 이 tilt의 방향을 보면 wave형태를 띄고 이를 spin wave라 합니다. 참고로 이때는 흔들려서 한쪽방향 정렬이 안되어  터널자기저항(tunnelling magnetoresistance, TMR)을 감소시킵니다.

 

위와 같은 세차운동은 spin에 외부자기장이 가해질때 발생하는데

dipole-dipole interaction에 의하거나

교환 상호작용(exchange interaction)에 의하거나

dipole-exchange 로 발생합니다.

 

즉 이들에 따라 발생하는 spin wave도 다릅니다

dipole-dipole의 경우 magnetic spin wave라 하며(um~cm)

exchange의 경우 exchange spin wave(nm)이고

dipole-exchange의 경우 dipole-exchange spin wave(nm~um)라 합니다.

 

이들모두 만들어 지는 원리부터 다르므로 크기와 성질모두 제각각입니다.

 

spin wave를 발생시킬 수 있는 가장 기본적인 원리는 전자 spin들이 외부 섭동이 발생해 바닥상태에서 들뜨고 spin간의 상호작용이 심해져 파동과 같은 spin wave를 발생합니다.

 

파장이 큰것이 잘 관찰되고 쉽게 제어 가능하므로

magnetic spin wave가 가장 잘 정리되어 있습니다.

 

magnetic spin wave는 파동벡터 값이 0일때와 0이 아닌 특정값일때로 나뉩니다.

파동벡터값이 0일때는 동일위상으로 세차운동을하여 이를 강자성 공명이라 합니다.

파동벡터값이 0이아닌 특정 값일때 파동벡터와 자화방향의 상대적인 방향에 따라 성질이 달라 3가지로 나뉩니다.

즉 다음 그림과 같이

파동벡터와 자화방향이 수직이여 group velocity와 phase velocity가 같은 방향이면, forward volume waves라 하고

파동벡터와 자화방향이 평행하여 group velocity와 phase velocity가 반대방향이면, backward volume waves라 하며, 

파동벡터와 자화방향이 같은 면에서 수직하면, group과 phase가 같은방향이 이지만 박막표면에서 만 wave가 존재하면 surface spin wave라 합니다.

 

spin wave는 인위적으로 발생시킬 수 있는데, 외부에너지를 통해 기저상태의 자화 전자를 국소적으로 여기시키거나 구조적인 magnetic을 형성해 spin wave를 방사시키기도 합니다.

또한 spin-transfer torque (STT)를 이용하여 발생시키기도 합니다.

 

이 spin wave는 일반 wave와 같게 반사, 굴절, 간섭, 회절이 존재합니다.

특히 이종의 자성체 경계면을 통과할때 스넬의 법칙이 적용되고 전반사와 굴절 효과까지 발생합니다.

단일 물질에서도 외부자장이나 자화배열에 의해 반사와 굴절이 발생합니다.

 

이 spin wave를 주목해야 하는 것은 스핀전류가 발생되기 때문인데,

이때 spin wave의 원리를 이용하여 강자성체와 상자성체를 접합시킨다면 spin pumping과 spin seebeck이라는 현상이 발생하여 요긴하게 쓰입니다.

 

spin pumping은 스핀 전류를 만드는 방법중 하나로 spin-transfer torque (STT)의 작용 반작용이라 생각하면 쉽습니다.

즉 강자성-상자성 구조에서 강자성체 내에 강자성 공명현상이 생긴다면 자화 세차운동이 각운동량 보존법칙에 의해 옆의 상자성체에 스핀전류를 펌프하여 공급합니다. 강사성체에 남아있는 감쇠하게 됩니다.  

 

spin seebeck은 spin caloritronics라는 자성 도체에 온도차가 존재할때 스핀 전류가 발생하는 것을 설명하는 이론으로 공간적으로 균일하지 않은 스핀 축척이 스핀전류를 발생시킨다는 것을 말합니다.

 

즉 스핀 전류가 전도전자가 아닌 spin wave에 의해 전달 되며 특히 계면효과에 의해 발생합니다.

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마지막으로 이 spin wave가 quantization 된 형태를 magnon이라 합니다. 해로운 접근법이 아닌 빛과 광자와 같은 개념으로 생각하시면 됩니다. spin wave에서 magnon을 유도하는 과정에서 이 개념들을 더 이해할 수 있습니다.

이 모든 물리는 스핀하나가 외부의 스핀이나 여러 요소 때문에 받는 effective field 때문에 torque를 받아 생깁니다. 스핀 한개가 받는 torque의 식을 표기하고 스핀의 자성값을 자성체(magnetic material)_강반자성체 AFM(antiferromagnetic), 강자성체 FM(ferromagnetic), paramagnetic, diamagnetic, 자화에너지 의 Ferromagnetism을 적용하며 effective field를 이웃한 스핀으로만 한정해서 전개한다면

$$\vec \tau =\hbar \frac{d\vec S_l}{d t}=\vec \mu_l \times \vec B_l =-g\mu_B\vec S_i \times \vec B_l=$$

$$2J(\vec S_l\times \vec S_{l-1}+\vec S_l\times \vec S_{l+1})$$

여기서 x축의 관점으로만 본다면

$$\hbar \frac{dS_{lx}}{dt}=2J[S_{ly}(S_{l+1,z}+S_{l-1,z})-S_{lz}(S_{l+1,y}+S_{l-1,y})]$$

입니다. 이떄 mean field aprroximation으로 z의  spin이 가장 크게 정렬되어있다고 한다면

$$S_{lx},S_{ly}<<S_{lz}\rightarrow$$

$$\frac{dS_x}{dt}=\frac{2JS}{\hbar}(2S_{ly}-S_{l-1,y}-S_{l+1,y}])$$

으로 y의 경우 윗 식의 y가 x로 변화하면 된다. 그리고 모두 근사가 된다면

$$\frac{dS_z}{dt}\approx 0$$으로 미분 방정식을 풀수 있는데

$$S_{lx}=ue^{i(kx-\omega t)},~~x=la$$ 으로 도출 되는데 이제 이 해를 위 식에 대입한다면

$$-i\omega u=\frac{2JS}{\hbar}[2-2coska]$$으로 w대해 정리하면

$$\omega=\frac{4JS}{\hbar}(1-coska)=\frac{8JS}{\hbar}sin^2\frac{ka}{2}$$

이고 k가 0으로 근사하면 long wavelength limit으로

$$\omega=\frac{2JS}{\hbar}k^2a^2$$이고 ka가 \pi를 만족시킨다면

$$ka=\pi\rightarrow~\omega=\frac{8JS}{\hbar}$$

으로 k에 따라 w가 변화하고 둘다 전개하면

$$S_x=ue^{ikx-\omega t}=ucoskx,~S_y=-iue^{i(kx-\omega t)}=usinkx$$으로 위에서 언급했듯 이웃한 스핀들로 스핀의 거동이 퍼져나가게 됩니다. 이를 spin wave라 하는데, 이들을 에너지화 시킨다면 모드에 따라 양자화 시킬 수 있습니다.

$$\epsilon_k=(n_k+\frac{1}{2})\hbar \omega_k$$

이 마그논의 에너지는

$$\vec E=\int_0^{\omega_m}\hbar \omega n g(\omega)d\omega,~n=\frac{1}{e^{\hbar\omega(q)}-1}$$

으로 정리한다면 (이때 g는 magnon density of state입니다.)

$$E\propto T^{3/2},~\omega\approx q^2g(\omega)$$으로 측정 온도에 따라 큰 영향을 받습니다. 즉 유한한 T에서 온도가 높아질 수록 magnon의 갯수가 많아지므로 물질의 magnetization값은 줄어들게 됩니다.

$$\Delta M=q\mu_B\int_0^{\omega _m}ng(\omega)d\omega \sim T^{3/2}$$

이를 Bloch's Law라 하며 phonon과 magnon mode의 coupled라 합니다