free particle velocity_group velocity

정의상 가정	free particle_V=0 in Srödinger equation
내용상 가정
공식
단위
응용

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free particle의 속도를 보겠습니다.

그냥 파동방정식에서 속도 구하는 것처럼 구하면 될것같은데,

그것이 아니기때문에 포스팅 하겠습니다!!

그럼 먼저 뭐가 문제인지 보기위해 그냥 파동방정식에서 속도를 구해보겠습니다.

여기에 free particle의 해를 적용시켜 같은 방법으로 전개해 보겠습니다.

묘한 모순이 생기게 됩니다.

운동량도 저거이고 속도도 저게 맞는데 무슨 소리일까요?

(물론 입자로 간주하고 파동으로 간주한 문제가 있긴 합니다.)

저렇게 속도를 구하면 안된다는 것입니다.

다르게 속도를 구하는 방법은 beating이라는 방법이 있습니다. 

먼저 파동장정식을 써보자면

이를 그려보면

다음과 같은데 파란색 파동을 carrier, 초록, 빨간색 파동을 envelop이라 합니다. 즉 파동이 두가지로 나뉘는 것이고 따라서 속도도 두가지로 나뉘게 됩니다.

즉 두가지 속도를 모두 구해보겠습니다.

먼저 free particle에 대한 해에서 계산을 한다면

즉 속도는 두개가 나옵니다. 위에서도 이렇게 다른 속도 였던 것입니다. 딱 절반이 되는...

이때 carrier의 속도에는 관심이 없고 envelop속도에 대해 관심이 많습니다.

따라서 속도는 envelop velocity에 대해 보아야 하겠습니다.

free particle 

에서 x 차원 함수에서는 속도에 대한 정보를 알기 어렵습니다.

또한 w안에 k가 들어어있는데 앞과 같은 방법을 적용하기 위해

반면 k는 더비 variable이므로 속도에 표현을 못합니다.

 

즉 k에 대해 고정된 k값과 변화하는 k값을 정해 변화하는 값을 따로하여 변화하는 값인 더미 variable을 속도식에서 제거해야합니다.

따라서 k 파수 차원으로 보기 위해 분포를 본다면,

보통 에 입자들이 모여있고 여러 k값의 분포를 가지고있습니다. 이 에서부터의 변위를 q라하면 다음그림과 같습니다.

즉 k를 분포를 써서 다음과 같이 표현하겠습니다.

이때 주파수에 대해선 k로 정리할 수 있습니다.

이때 q가 크다면 푸리에 변환식 안에서 항이 급속도로 줄어들게 되므로 단순화를 위해 q의 제곱항인 가장 뒷항을 무시하겠습니다.

(나중에 다시 회복시키겠습니다.)

본 식에 대입한다면

즉 전체 분포에 대한 속도를 계산한다면 미분 형태로 나오며 이런 pulse의 진행속도, envelope의 진행속도를 group velocity라 하며 carrier의 진행속도, 즉 주어진 k와 w의 pair에 대한 속도를

, phase velocity라 합니다.

그렇다면 다시 돌아가서 q의 제곱항을 무시하지 않는다면 어떻게 될까요?

다시 넣고 처음부터 똑같이 계산한다면

이 해는 시간이 갈 수록 amplitude가 낮아지고 주파수가 길어져서 

펑퍼짐해집니다.(dispersion)

이와 같은 예 중 하나가 광선인데

진공속에서의 광선(EM wave)가 dispersion 없이 진행합니다.

따라서 

그러나 매질 내부에서는 굴절을 하여 굴절률이 n이라하면

즉 주파수에 따라 속도 변화가 다르며, dispersion이 일어납니다.

사실 세상의 모든 물질은 갖고 있는 성질입니다.