free particle_V=0 in Srödinger equation

요약

입자(전자)에 아무런 위치에너지가 없는 V(x)=0인 상황에서 슈뢰딩거방정식을 푼것이다.

정의상 가정	시간 독립적 슈뢰딩거 방정식(TIme-independent Srödinger equation) energy eigenstate 푸리에 변환(fourier transform)
내용상 가정
공식
단위
응용	free particle velocity_group velocity

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입자(전자)에 아무런 위치에너지가 없는 V(x)=0인 상황에서 슈뢰딩거방정식을 풀겠습니다.

즉potential우물도 없는 그저 무한대 범위까지 위치에너지가 없는 free particle에 대해 논하는 것입니다.

지금까지 다뤘던 상황과는 약간 다를 수 있습니다.

지금까지는 큰 가정으로 boundary condition 즉 원자 한바퀴 돌면 파동이 같아야 한다는 둥의 물리적인 제한조건이 있었지만, 지금은 그저 외부상황없이 입자 자체만 보는 것입니다.

이러한 접근은 푸리에 변환(fourier transform)과 접근 법이 같습니다.

푸리에 변환도 푸리에 급수에서 주기함수만 다루다가 푸리에 변환으로 확장하며 주기를 없앴기 때문입니다.

그럼 슈뢰딩거 방정식을 풀기위해 간단히 energy eigenstate를 적용해 보겠습니다.

에서

을 적용한다면,(여기서 k는 real입니다.)

으로 해가 나와버렸습니다.

그럼 끝일까요?

아닙니다.

안타깝게도 이 해는 normalize가 되지 않습니다.

이것의 절대치 재곱을 한다면 상수가 나오게 되어 결코 무한대로 갔을때 0이 나오지 않습니다.

여기까지 나온 해는 지극히 정상적으로 슈뢰딩거를 푼것으로

현실세계에 맞추기 위해 약간의 타협을 하게 됩니다.

즉 현실세계해서는 진짜로 free한것이 없으므로 범위가 어느정도 있는 packet단위로 기술한뒤 그 packet의 범위를 확장시킨다는 것입니다.

그럼 packet은 어떻게 규정할까요? potential wall과는 전혀 다른 차이점이 있습니다.

즉 그냥 그냥 파동함수에 위치만 규정해 주는 것입니다.

어쨌든 주기함수 이므로 푸리에 급수를 적용할 수 있습니다.

이때 역 푸리에 급수에 분모에 2a가 아닌 가 붙는 이유는 원래 은 삼각함수 앞에 붙는 상수인데 에 항이 있기때문에 만 씁니다.

그냥 푸리에 급수를 써서 표현하면 되지만 다른 기호가 나오므로 그냥 증명으로 진행하겠습니다.

즉 

에 을 대입한다면

여기서

이라고 가정하고 적용하면

즉 푸리에 변환 꼴로 되었습니다.

단지 신호처리에서 쓰던 시간-주파수의 변환이 아니라

변위-파수의 변환으로 되었습니다.

한 예를 들어보겠습니다.

파동함수가

일 경우 푸리에 변환으로 표현한다면

여기서 

을 plot하면

a=10일때는 

a가 100일때는

입니다. 즉 원점에서 처음 0되는 지점 사이의 간격을 라 하면

으로 불확정성 원리가 성립합니다.

다시말해 불확정성 원리는 푸리에 성질을 물리학적으로 나타낸것과 같다고 볼 수 있습니다.

free particle로써 범위가 없는 즉 인 경우를 보겠습니다.

예를 들어 free particle의 한 해인

즉 eigenstate가 되어 항상 같은 값이 나와 분표가 0이 되는 것입니다.

그럼 애시당초 문제가 되었던 normalize가 되지 않아 잘못된 해였던 것은 해결이 되었을까요?

푸리에 변환은로 이루에낸 integral combination에서 계산하면

delta function이 나옵니다. 즉 normalize는 괜찮아졌습니다.

푸리에 변환한것만 normalize된것이 아니냐고요?

아닙니다!

왜냐하면 parseval정리에 의해 normalize값은 푸리에 변환 전후가 같습니다. 

이때 범위가 변화하며 값들은 delta function에서 자유롭게 변화하게됩니다.

여기까지 이해하면 한가지 딜레마에 빠집니다.

분명 처음 해는 normalize가 되지않아 잘못된 식 이었는데,

그것을 이용해서 풀다보니 맞는 식이 도출되었습니다.

가정도 잘못된 가정으로 증명한것이 맞는 식이라는 것도 이상할 뿐더러

packet을 확장시킨것이 normalize된다는 것도 의문스럽습니다.

의문에는 가장 먼저 이러한 생각을 하는게 좋습니다.

어찌됬든 저희가 하는것은 물리적현상에 해석을 제시하는 것이고,

물리적 현상에는 무한대의 범위에 걸친 free particle이 없으므로, 어느정도 범위안에 들어있는 packet은 존재하게 됩니다.

즉 무한대로 간다면 delta function에서도 문제가 생기겠지만,

무한대로 가지 않는다는 확신아래 푸리에변환으로 표현한 모든 범위에서 가능서을 가진 free particle은 맞게되는 것입니다.