The harmonic oscillator (in quantum mechanics)

정의상 가정	시간 독립적 슈뢰딩거 방정식(TIme-independent Srödinger equation), energy eigenstate, 단조화운동
내용상 가정
공식
단위
응용	Commutation relation_ladder operator, creation operator, annihilation operator

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Simple harmonic oscillator를 양자역학적으로 풀어보겠습니다!!

사실 앞서 한 infinite potential well과 같이 harmonic oscillator 형태를 가진 potential well을 논한다고 보면 됩니다.

갑자기 왜 Simple harmonic oscillator를 논할까요??

일딴 단조화 운동은 물리적 의미로 충분히 중요합니다. 단조화 운동으로 파동을 정의했기 때문입니다.

그리고 양자역학에서는 입자를 파동이라 했으므로 고찰할 필요가 충분히 있습니다.

그러나 더 큰 이유가 있습니다.

바로 에너지의 관점에 이유가 있습니다.

비록 대부분의 potential의 경우 

을 따라가진 않지만 

가장 낮은 바닥상태의 경우 테일러급수로 정리했을때

기울기가 0이므로 두번째 항은 0이되고

또한 potential이 symmetric한 경우가 많은데, 이경우에는 네번째 항이 0이됩니다.(even함수이기 때문에),

그리고 다섯번째항 부터는 세번째항보다 훨씬작다는 가정하에 무시할 수 있습니다.

즉 potential energy의 항은 

이라 정의하면

가 지배적으로 성립하게 됩니다.

즉 simple harmonic oscillator를 논하는 것은 potential energy를 표현하는 가장 간단한 방법입니다.

다음과 같은 물체에 스프링이 달린 고전역학적인 상황에서는

단조화운동 과 같이 

입니다. 하지만 양자역학에서는 진짜 용수철은 없으므로 k대신 으로 표현하겠습니다.

그렇다면  Hamiltonian은 

이때 energy eigenstate의 성질에 맞게 풀기위해 를 푼다고 한다면

쉽게 풀기 위한 방법으로 변수들을 dimensionless즉 차원이 없는 상태로 만들기위해 

로 정의하고 특히 물리적 차원으로

으로 u는 dimensionless가 됩니다.

u를 쓴다면 방정식은 이라 할때

으로 바뀝니다.

이 미분방정식을 푸는 방법으로 먼저 대략적인 해의 모양을 유추하는 방법이 있습니다.

다음과 같이 유추할 수 있습니다.

따라서 대입해보면

풀기위해 일딴 이 식의 결과에 대한 조건으로 physical함수를 기술할때 

인 경우 해당 함수가 0이 되어야하고

에서 해당 함수가 존재해야합니다.

이렇한 boundary condition에 의해 전개하겠습니다.

먼저 윗 미분방정식의 해는

입니다

이때 x=0에서 문제가 생기지 않도록 inequality의 싹을 잘라버리기 위해 j=0부터 시작했습니다.

이 식을 미분방정식에 대입하면

가 도출되는데

에서는 

가 되어 이는 exponential의 테일러 급수형태와 유사합니다.

라면 에서 무한히 발산할 것임으로 오류가 생깁니다.

따라서 발산을 막아주는 장치가 필요하며

이는 K로 막아줄 수 있습니다.

즉 로 정의한다면, 이 j=n에서 0이 되어 발산을 멈추게 됩니다.

처음 K를 정의했던 에 를 대입한다면,

입니다. 즉 에너지가 양자화 됩니다. 

또 를 에 대입후 풀어본다면

이때해를 이라 한다면

이때 normalization을 한다면

으로 계수가 계산됩니다.

그렇다면 이 해에서 유추할 수 있는 성질은 무엇일 까요?

먼저 ground state에 대한 상황을 볼 수 있습니다.

즉 n=0인 상황 즉 가장 에너지가 낮은 상황에서

으로 가장 낮은 에너지 상태에서도 에너지가 존재합니다.

확신할 수 있을까요? 한가지 증명을 해보겠습니다.

파동함수로 기댓값을 계산하면

파동함수가 우함수이므로

또 자연스럽게 

입니다.

또한

여기서 만약 E=0이라면 

이 되는데 이는

입니다.

이는 

으로 불학정성원리에 모순되게 됩니다.

따라서 이러한 결과가 나왔던 E=0이라는 가정이 완전모순이며, E=0일 수 없다는 것을 알 수 있습니다.

그럼 다시 에너지를 정의하기 위해 kinetic energy와 potential energy를 보겠습니다.

따라서 불확정성 원리가 성립하게 됩니다.

이떄 macroscopic에서는 m이커서가 작아

가 작아 양자화된 에너지가 들어나지 않고 ground state의 관찰은 불가능 합니다.

그러나 원자에서는 m가 작기 때문에 (k는 이온의 결합을 조정하거나 좁은 영역으로 국한하면 크게 할 수 있습니다.)

f가 수십 MHz가 가능합니다. 원자 분광학으로 쉽게 resolve해서 관찰 할 수 있습니다.