퍼텐셜 우물(infinite potential well)_probability amplitude

 정의상 가정

 energy eigenstate, 시간 독립적 슈뢰딩거 방정식(TIme-independent Srödinger equation)

 내용상 가정

 자연계는 연속적이다.(불연속적이지 않다.)

 공식

 

 단위

 

 응용

 The harmonic oscillator (in quantum mechanics)

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가상적으로 다음과 같은 중간은 potential이 0이고 바깥은 potential이 무한인 상황을 가정해 보겠습니다.

이 조건을 수학적으로 나타낸다면

이 되겠습니다.

이때 자유입자가 V=0안에서 어떻게 존재하는가에 대한 풀이를 하기 전에,

고전역학적인 관점과 양자역학적인 관점으로 나누어 진행해 보겠습니다.

운동방정식은

양자역학의 경우 V=0이므로 

고전역학의 경우 x=0, x=a이 고정되어있는 줄을 생각하면 되며

운동방정식을 풀기 위한 trial solution은 둘다 변수분리를 이용하면 됩니다.

위 trial solution을 풀면 다음과 같습니다.

양자역학의 경우

이때 k의 차원은 당연히 [1/L]이 되고 일반해를 푼다면

입니다.

고전역학의 경우

이 식의 경우 해에 조건이 많이 붙습니다.

boundary condition도 보겠습니다.

양자역학의 경우

결국 자연적인 상황으로 불연속적이면 안되므로 

x<0과 x>0인 상황에서 이라면 불연속하지 않기위해

도 성립해야합니다.

고전역학의 경우에는 앞서 말했듯

입니다.

이 boundary condition을 일반식에 적용시킨다면

양자역학의 경우 

에서

이고

고전역학의 경우에도 같습니다.

따라서 고전역학의 경우 파장이 양자화됩니다.

그러나 양자역학의 경우 에너지가 양자화됩니다.

양자역학의 경우 파장이라는 개념이 애매하기에 에너지에 접목시킵니다.

이때 macroscopic에서는자체가 엄청작고 m과 a가 커서 고전역학에서는 무시가능합니다.

그렇다면 n에대한 solution은 어떻게 될까요?

양자역학의 경우

여기서 normalization에 의해

입니다.

이 해의 형태는 

즉의 에너지를 가진 counter-propagatily matter wave의 간섭이라 볼 수 있습니다.

고전역학의 경우에는

즉 이 삼각함수를 보면 sting wave의 간섭이라 볼 수 있습니다. 이때 energy는 진폭에따라 연속적으로 변화하는데,

따라서 일반해는 

양자역학의 경우

고전역학의 경우

입니다.

이제 고전역학의 경우  은 초기값으로 간단히 구할 수 있으므로 생략하고 양자역학에 집중하겠습니다,

양자역학도 식을 완성하려면 을 구해야 하므로 초기값을 봐야합니다.

즉 t=0에서 살펴보면

여기서 orthogonal  을 이용하면

입니다.

이때 는 식을 완성하는것 말고도 엄청난 의미가 있습니다.

어떤 입자들의 에너지가 로 구성되어 있을 때

이므로

즉 어떤 입자의 energy를 측정시 중 

의 에너지가 나올 확률이 바로 입니다.

워낙 중요한 의미를 같는 상수라

를 따로 probability amplitude라 부릅니다.