3D Schrödinger equation _ 수소 ( hydrogen )

정의상 가정	슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation) : 비상대론적 좌표계 곡선좌표계미분(기울기 gradient, 발산 divergence, 회전 curl)
내용상 가정	푸아송방정식(Poisson’s equation)/ 라플라스방정식((Laplace's equation) Maxwell equation(맥스웰 방정식)
공식
단위
응용	P.Dirac 방정식 spin in quantum mechanics 원자

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슈뢰딩거 방정식을 3차원 현실에 적용하기 위해 2D에서 3D로 바꾸기 위해선, 전자기학에서 전자와 자기장을 표현할 때 사용했던 sphercal polar coordinate를 쓰면 쉽습니다.

따라서 sphercal polar coordinate를 가정하여 한 지점의 centrol potential을 가정하여 

로 표현해보겠습니다.

 

먼저 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같습니다.

여기서 centrol potential을 가정한다면 윗 식에,

을 대입하고 sphercal polar coordinated으로

을 대입한다면

이 됩니다.

 

사실 3차원으로 sphercal polar coordinated을 사용한것은 이전에도

푸아송방정식(Poisson’s equation)/ 라플라스방정식((Laplace's equation)

Maxwell equation(맥스웰 방정식)으로 있었습니다.

 

poisson은

이고 wave는

입니다.

 

이때 식의 형태를 자세히 본다면 공통적으로

의 형태를 지니고 있습니다.

따라서 일반적으로 접근한다면 곡선좌표계미분(기울기 gradient, 발산 divergence, 회전 curl)에서

이고 변수분리에의해

라 하면 가

 

 가 됩니다.

 

이때 여기서 식을 간단하게 하기위해 정의를 하나 해야합니다. 바로

으로 l(l+1)이라는 상수로 정의하는데요, 왜냐하면 본식이서 위 항은 r에 의존하고 다른항은 각도에 의존하므로 항의 합이 0이 되려면 각 항이 모두 상수이어야 하기 때문입니다. 따라서 식을 진행할때 식을 간단하게 할 수 있는 l(l+1)이라는 상수로 가정합니다.(후에 l은 부양자수가 됩니다.)

따라서

가 만족하고 이를 본식에 대입하면

입니다. 여기서 가정을 하나 더 할 수 있습니다.

바로 윗 식에서 한 항을

으로 가정합니다.(후에 m은 자기장자수가 됩니다.) 왜냐하면 첫 항은 양수가 확실하므로 두번째항을 아예 음수로 못밖아 놓는 가정입니다.

 
본 가정에 의해 위와 같은 해가 나옵니다.

따라서 다시 본식으로 돌아간다면,

에서 수학적 tool중 하나인 Legandre를 사용할 수 있습니다. Legandre는

를 사용한다면, 본 식에서 각도에 관한 항은 special harmonious로 나타낼 수 있습니다.

따라서 이쯤에서 정리를 한다면

슈뢰딩거 eq의

에서

의

이므로 이제 R만 알아내면 됩니다.

즉

여기서 R을 구해서 E를 구하면 수소원자의 모든것을 알 수 있습니다.(에너지를 알면 모든것을 안다고 할 수 있으므로...)

위에 식을 풀어써보겠습니다.

인데 첫항은 스칼라값이 없으므로 r방향 motion하고 관련된 운동 E라 생각 할 수 있습니다. 사실 여기 까지만해도 quantum wall등 다양한 적용분야에 적용할 수 있지만, 저희는 완전한 3D 슈뢰딩거 방정식을 위해 l에 조건을 주겠습니다.

가장 처음 l=0이라는 조건을 준다면 가장먼저  를 무한대로 만들수 없으므로 m=0이라는 조건이 생깁니다.

이제 각도에 관항 항이 어느정도 나왔으므로 R에 대한 식을 보겠습니다.

이므로 본식은 미분방정식의

꼴과 같습니다. 이때 cos을 없앤 이유는 r이 0으로 갈때 항이 무한대로 가기 때문인데,

처럼 각도 항에 맞지 않고 슈뢰딩거 방정식에 적용했을때 cos을 쓰지못하는 복잡한 이유가 있습니다. 즉

에서 r=a에서 파동함수가 0이되는 boundary condition을 가정할 때 이 boundary condition에서 sin(ka)=0 -> k=(1/a)nπ으로 에너지는

입니다. 이렇게 l=0일때 상황, 즉 원자 자체의 현상을 모두 해결했습니다.

 

그렇다면 l이 0이 아닐때는 어떨까요?

즉 l=1,2,3,4....로 진행할 때(갑자기 l을 자연수로 한 이유는 l이 자연수가 아니라면 발산하고 난리가 납니다...) u(r)=rR(r)로 가정하고,

이라 가정할 때

인데 이는 베셀 function의 꼴과 같으므로 이들의 해로 집어 넣으면

입니다. 이때 경계조건 에서

으로 B는 l의 n번째 베셀 function을 갖는 k값이라는 의미로

입니다.

이제 해결했으므로 수소에 적용해 보겠습니다.

 

이떄 photon의 영향은 photon의 질량이 전자보다 무척 크므로 무시하겠습니다. 다시말해

는 생략해도 됩니다.

 

즉 쭉 전개해보면

 

인데 중요하지 않은 증명을 다 생략한다면 V에 대한 식으로 전개될 것이고, C에 대한 식으로 전개 될 것이며, 이는 associated legendre function으로 해석 할 수 있고 결국의 해는 다음과 같이 도출 됩니다.(이를 도출할떄 발산하는 항이 있는데, 중간에 끊어서 발산을 멈추는 증명법이 있습니다. 증명에 관심이 있으면 찾아보세요~)

여기에서 Y전까지의 항은 radial에 대한 항이고 Y부터는 angular에 대한 항입니다. 이를 이용해 수소의 에너지를 유도해 보겠습니다. 위 파동함수에 각종 오퍼레이터를 적용시켜본다면,

으로 운동에너지가 도출되고 운동에너지를 뺸 것이 퍼텐셜 에너지 이므로

가 도출됩니다.

여기서 

으로 λ는 Rydberg constant라는 값을 가집니다.

 

참고로 열 물리적으로 수소에 이온을 때려 전자를 방출하게 한다면 바닥상태에 있을 확률은

입니다. 참고로 ε은 각각의 상태의 에너지 입니다. 이때 바로 위에 상태의 확률은

으로 원자는 상온에서 바닥상태에 안정하다는 것으로 도출됩니다.

 

또한 본 식의 n-l-1을 J라 정의하면

라는 성질을 알 수 있고, 이들을 종합한 모식도는 다음과 같을 것입니다.

 

한 n에서 이 level들의 총 갯수는

라는 것을 개산 할 수 있습니다.

 

그러나 여기서 spin이라는 변수를 하나 더 대입하여 slit이 나오며, 후에 slit이 또하나 나오는 것을 발견하였고 이를 Lamb shift라 합니다.

 

즉 상대론 적인 현사을 대입하고자 Dirac equation이 도입되어 electron과 anti electron을 간견하며, 마지막으로 Dirac+Radiative correction으로 완전한 이론을 만들어 냅니다. 마지막이론은 아직까지 이에 반하는 실험결과가 나오지 않았습니다.

 

 

 

추후 더 정확한 물리적 설명과 공식을 추가하겠습니다.

읽어주셔서 감사합니다!