Dielectric (유전체) _ plasmon

정의상 가정	Maxwell equation(맥스웰 방정식) 드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility)
내용상 가정	물질에 따라 𝞽를 무시하거나(절연체) 무시하지 않는다(금속).
공식	$$\epsilon=\epsilon_1-\frac{4\pi n e^2/m}{i\omega/\tau+\omega^2}=\epsilon_1-\frac{\omega_p^2}{\omega_L^2}$$
단위
응용	Polariton

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유전체의 모든것을 파악하기 위해서는, 전자기의 모든것을 포함하는 공식인 Maxwell equation을 적용해 보아야 합니다.

$$\vec \nabla \times \vec H =\frac{4\pi}{C}\vec J+\frac{1}{C}\frac{\partial D}{\partial t}$$

$$\vec \nabla \times \vec E =-\frac{1}{C}\frac{\partial B}{\partial t}$$

여기서 모두가 아는 Dielectric function 𝞊(𝞈)과 물질에 자성이 없다는 것을 가정하면

$$\vec D =\epsilon_1 \vec E, ~\vec B=\vec H$$

가장 윗식의 미분방정식을 풀 수 있어

$$\vec H=\vec H_0 e^{i(\vec k\cdot \vec r -\omega t)}$$

$$\vec E=\vec E_0 e^{i(\vec k\cdot \vec r -\omega t)}$$

$$\hat k\times \hat E =\hat H,~~|\vec k||\vec E|=|\epsilon |^2H, \vec j =\sigma _1\vec E$$

으로 정리 할 수 있습니다. 이때 다음과 같은 수학적 성질에 의해

$$\vec \nabla \times \vec A e^{i\vec k\cdot \vec r}=i\vec k \times \vec A e^{i\vec k \cdot \vec r},~~\frac{\partial }{\partial t}e^{-i\omega t}=-i\omega e^{-i\omega t}$$

다음과 같이 대입하여 정리할 수 있습니다.

$$i\vec k \times \vec H=\frac{4\pi}{C}\sigma _1\vec E -\frac{i\omega}{C}\epsilon _1\vec E$$

$$-\frac{i\omega}{C}(\epsilon _1 +\frac{4\pi i}{\omega}\sigma_1)\vec E =-\frac{i\omega}{C}\epsilon \vec E$$

로 이제 Dielectric function 𝞊(𝞈)를 정의할 수 있습니다.

$$\epsilon=\epsilon _1 +\frac{4\pi i }{\omega}\sigma$$

이를 윗식에 다시 적용한다면

$$ik\times(\vec k\times \vec E)=\frac{i\omega}{C}(\vec k \times \vec H)$$

$$=\frac{\omega}{C}(i\vec k\times \vec H)=-\frac{\omega^2}{C^2}i\epsilon \vec E$$

$$i\vec k (\vec k \cdot \vec E)-i k^2\vec E=-\frac{\omega^2}{C^2}i\epsilon \vec E$$

$$k^2\vec E=\frac{\omega^2}{C^2}\epsilon \vec E$$

$$k=\frac{\omega}{C}\sqrt{\epsilon},~k=\frac{\omega}{C}N\rightarrow~N=\sqrt \epsilon$$

이제 D에 대입하여 풀어 써보겠습니다.

$$\vec D =\epsilon _1\vec E=(1+4\pi \chi _1)\vec E,~~\vec P =\chi \vec E$$

$$\vec \nabla \times (\vec \nabla \times \vec E)=\vec \nabla (\vec \nabla \cdot \vec E)-\nabla ^2 \vec E$$

여기서 max well 방정식을 적극 도입하면

$$=-\nabla ^2 \vec E =\frac{1}{C}\frac{\partial }{\partial t}\frac{\epsilon}{C}\frac{\partial \vec E}{\partial t}$$

$$\vec \nabla ^2 E=\frac{\epsilon}{C^2}\frac{\partial ^2 E}{\partial t^2}$$

으로 해를 구할 수 있습니다.

$$\vec E=\vec E_0 e^{i(\vec k\cdot \vec r-\omega t)}\rightarrow -k^2\vec E=\frac{\epsilon}{C^2}(-\omega^2 \vec E)$$

$$k=\frac{\omega}{C}\sqrt \epsilon=\frac{\omega}{C}N$$

으로 N을 정의 할 수 있는데, 여기서 n은 reflective index이고, K는 extinction coefficent입니다.

$$N=n+iK$$

따라서 E를 논의를 진행하게 쉽게 만들 수 있습니다.

$$\vec E=\vec E_0e^{\frac{\omega}{C}Nx-\omega t}$$

$$=\vec E_0e^{\frac{\omega}{C}nx-\omega t}e^{-\frac{\omega}{C}Kx}$$

으로 이들을 도전율과도 관계시킬 수 있는데,

$$(n+iK)^2=n^2-K^2-2inK=\epsilon_1 \frac{4\pi i}{\omega}\sigma_1$$

$$\epsilon_1=n^2-K^2,~~\frac{4\pi}{\omega}\sigma_1=\epsilon_2=2nK$$

 

절연체에서는 이 𝞂=0이므로

$$\sigma_1=0\rightarrow~\epsilon_1>1\rightarrow ~n=\sqrt{\epsilon_1}>1\rightarrow~K=0$$
으로 따라서 extinction coefficent가 0으로 전기장이 투과하며 감쇄하지 않습니다.

$$k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{\lambda_0}n\rightarrow~\lambda=\frac{\lambda_0}{n}$$

절연체 통과시 전자기파의 파장이 더 짧아진다는 것도 알 수 있습니다.

 

하지만 어느정도 전도도가 있는경우

$$\sigma_1\neq 0 ,~~\epsilon_1>1,~~n^2>K^2,~~n>K$$

으로 전기장이 감쇄하지만 급격하게 감쇄하지는 않아 oscialtion은 유지합니다. 즉 Damper 이지만 oscilation은 합니다.

 

하지만 metal과 같이 전도도가 엄청나게 큰

$$\sigma_1>>0 \rightarrow,~~\epsilon_2>>\epsilon_1,~~n^2-K^2<0, ~\epsilon_1<0$$

으로 overdamped가 됩니다.

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이제 AC의 관점에서 보겠습니다.

드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility)으로 metal을 볼때 Fermi Surface에 전기장을 가하면

다음과 같이 생기고 가한 전기장을 다음이라 한다면

$$E_l=\frac{\hbar k^2}{2m},~\hbar \frac{\partial \vec k}{\partial t}+\hbar \frac{\delta \vec k}{\tau}=-e\vec E$$

에(이때 𝞽는 time constant입니다.) 다음 식
$$\vec E=E_0 e^{i\omega t}\rightarrow~\vec k=\vec k_0 +\delta \vec k =\vec k_0 +\delta_0 \vec k e^{-i\omega t}$$

을 대입한다면

$$\hbar(-i\omega)\delta \vec k e^{-i\omega t}+\frac{\hbar}{2}e^{i\omega t}=E_0e^{-i\omega t}(-e)$$

이 도출되는데 다음식을 이용해서

$$\vec P=\hbar \vec k \rightarrow~\hbar \delta \vec k=m\delta \vec \nu=m(i\omega)\delta\vec x$$

쭉 전개한다면

$$\vec k (\frac{1}{2}-i\omega)=\frac{\vec E_0}{\hbar}(-e)$$

$$\vec j =-ne\vec  \nu_0=-ne\frac{\hbar\delta \vec k}{m}$$

으로 모두 대입하여 전기장을 나타낸다면

$$\sigma (\omega) \vec E_0=-ne(-e)\frac{E_0}{\hbar}(\frac{1}{\frac{1}{2}-i\omega})\frac{\hbar}{m}$$

$$=\frac{ne^2}{m}(\frac{\tau}{1-i\omega^2})\vec E_0$$

으로 dielectric function으로 적용한다면

$$\epsilon =\epsilon_1+\frac{4\pi i}{\omega}\sigma=\epsilon_1+\frac{4\pi i}{\omega}\frac{\frac{ne^2\tau}{m}}{1-i\omega \tau}$$

$$=\epsilon_1-\frac{4\pi n e^2/m}{i\omega/\tau+\omega^2}=\epsilon_1-\frac{\omega_p^2}{\omega_L^2}$$

으로  plasma frequency wp를 정의할 수 있습니다.

$$\omega_p=(\frac{4\pi ne^2}{m})^{1/2}$$

따라서 실수부만 고려한다면 다음과 같은 그래프를 얻을 수 있는데, 이 그래프는 절연체로 𝞽의 효과는 무시한 것입니다. 즉 주파수에 따라 reflected 되는 것과 propagate되는 경향이 달라지는데, 𝟄>0이면 전자기파 진행하고, 𝟄<0이면 전자기파가 반사 됩니다. 

$$\omega =\frac{\omega_p}{\sqrt{\epsilon _1}}$$

에서 0을 지나고 변화합니다. 이때 분모에 있는것은 기본 유전율입니다. 

허수부는 약간 다릅니다.

(그래프의 y축은 전도율입니다;;) 허수부는 완벽히 금속을 의미한다고 보면 됩니다.

$$\sigma_1=\frac{\sigma_0}{1+\omega^2\tau^2}$$

로 일반적인 금속의 파라미터를 적용해본다면

$$\tau\approx 10^{-14},~~\omega \sim 10^{14}s^{-1},~~f=1.6\times 10^{13}Hz$$

으로 𝞽효과가 반드시 필요하므로 𝞽를 고려하여 다시한번 구해보겠습니다. 즉 metal을 가정합니다.

$$\epsilon =\epsilon _\infty -\frac{\omega_p^2}{\omega^2+i\omega / \tau}$$

$$=\epsilon_\infty-\frac{\omega_p^2}{\omega^2+1/\tau^2}+i\frac{\omega_p^2 \tau}{\omega(1+\omega^2\tau^2)}$$

$$\omega_p^2=\frac{4\pi n e^2}{m^*}$$

$$\sigma_0=\frac{ne^2\tau}{m^*}=\frac{1}{4\pi}\omega_p^2\tau$$

으로 정리 할 수 있습니다.

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이제 전기장을 가했을때 Dipole이 일어나는 것을 보겠습니다. 바로 물질의 전하의 분리가 일어나서 전기장을 depolarization을 시키는 것으로 P로 표현합니다.

$$D=\vec E +4\pi \vec P =\epsilon \vec E$$

으로 D=0이면 𝟄=0이므로

$$\vec E=-4\pi \vec P=-4\pi (n(-e)\vec \chi)$$

𝟆가 분극된 거리를 나타내는 항이므로 F=ma를 사용하여 표기하면

$$m*\frac{d^2\vec \chi}{dt^2}=-ne\vec E=-4\pi n e^2\vec \chi$$

$$\frac{d^2 \vec \chi}{dt^2}=-\frac{4\pi ne^2}{m*}\vec \chi =-\omega_p^2\vec \chi$$

$$\vec \chi =\chi_0 e^{-i\omega_p^2 t}$$

으로 에너지로 나타내면

$$\vec E=E_0 -n\hbar \omega_p$$로 plasma frequency가 양자화 되어 계속 에너지가 감소하며 이정도는 

$$L=-I_m(\frac{1}{\epsilon})$$로 plasma frequency의 배수열로 에너지 흡수가 일어납니다.

이를 plasmon이라 합니다.

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이제 장파장 단파장에 따른 변화를 보겠습니다.

전기력에 따른 운동방정식을 세운다면

$$m\ddot{x}+\gamma \dot{x}+kx=F_{ext}$$

$$F_{ext}=-eEe^{-i\omega t}$$

$$\rightarrow ~~(-m\omega^2-i\omega \gamma +k)x_0=-eE$$

의 기본식이 나오게 되는데,

$$\frac{k}{m}=\omega^2_g,~\frac{r}{m}=\tau$$

라 정의를 한다면

$$x_0=\frac{-eE/m}{-\omega^2-i\omega/\tau+\omega^2_g}$$

이고 이때 전기장에 의해 전하가 분리되어 생기는 polarization을 계산한다면

$$\vec P=-ne\vec x_0=\frac{\frac{ne\tau}{m}\vec E}{\omega^2_g-\omega^2-i\omega/\tau}$$

에서 위에서 굉장이 많이 반복한 dielectic 에 대한 식을 쓴다면

$$\vec D =\vec E +4\pi \vec P=\sigma E,~~~\epsilon =1+4\pi \frac{D}{E}$$

여기서 1대신에 high frequency dielectric function을 쓴다면

$$\epsilon =\epsilon_\infty+\frac{\frac{4\pi ne^2}{m*}}{\omega^2_g-\omega^2-i\omega/\tau}$$

으로 two level system에서

전하가 쌓인것이 decay하는 시간이 𝜏인데 딱 걸리는 전계가

$$E=\hbar \omega_g$$일 때 전자가 들쓸수 있기 때문에 전도도가 증가합니다.

따라서 이 wg를 기점으로 반사율과 visible한 영역의 경향이 바뀌게 됩니다.