연속방정식(Continuity Equation)

정의상 가정	flux, mexwell eq(추후추가), 곡선좌표계미분(기울기 gradient, 발산 divergence, 회전 curl)
내용상 가정	분자와 분자 사이 거리가 변화 없음을 가정한다.(incompressibility)
공식
단위
응용	born's statistical interpretation

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사실은 maxwell equation에서 유도되는 공식이지만,

그 어떤 물리량이 보존된다는 것을 표현하는게 연속 방정식 입니다.

즉 전하에 관한 내용만을 담고 있는게 아닌 보존하는 다른 어떤 물리학적 내용에도 적용할 수 있습니다.

그 연속방정식은 다음과 같습니다.

 이게 어떻게 전하의 보존에 대한 내용을 담고 있을 까요?

윗 식은 너무 미소하니까 의미를 되짚어보기 위해 부피에 대해 적분을 하겠습니다.

앞항은 곡선좌표계미분(기울기 gradient, 발산 divergence, 회전 curl)에서 논한 발산법칙에 의해 면적 적분으로 바뀌고 두번째 항은 어떤 수학적 조건에 맞아(어떤 조건인지는 까먹었습니다.) 미분이 앞으로 나올 수 있습니다.

즉 의 식이 되고

식을 해석한다면 앞항은 flux가 면적을 통해 빠져나간 물리량이고 두번째 항은 volume V안에 있는 물리량(charge)의 변화율 이라 볼 수 있습니다.

즉 나간만큼 물리량은 없어지고 들어온만큼 물리량이 채워지는, 나가고 들어오는게 동일하면 물리량은 보존된다는 내용을 담고 있습니다.

딱 알만한 예시가 있는데, 

이때 분자와 분자 사이 거리가 변화 없음을 가정한다.(incompressibility)

중간을 통과하는 flux를 라 가정하면

이때 분자와 분자사이의 거리가 변화 없음으로 같은 부피에서는 시간에 따라 변화 하지 않습니다

따라서 입니다.

즉 을 만족하여 들어오는 flux의 총합과 나오는 flux의 총합이 같아 이고

방향이 수직한 곳으로 flux가 나가지 못하므로으로

즉

그럼 1차원에서 continuity Equation은 무엇일까요?

먼저 자체가 삼차원이므로 

중 한가 지만 취해야 합니다.

즉입니다.

이는 양자역학의 확률밀도함수를 풀때 큰 역할을 합니다.