formalism_Hilbert space, dirac notation

요약

슈뢰딩거 방정식을 수학적 틀에 적용시킨 것으로 슈뢰딩거 방정식을 완벽히 일반화 시킨것이다. 벡터사용과 비슷하다.

정의상 가정	벡터(vector) 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation) : 비상대론적 born's statistical interpretation 시간 독립적 슈뢰딩거 방정식(TIme-independent Srödinger equation)
내용상 가정
공식
단위
응용

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실험적으로 또는 상황에 맞게 전개하여 슈뢰딩거 방정식을 풀었습니다.

그러나 이 슈뢰딩거 방정식을 풀다보니 수학적 틀에 적용시킬 수 있어,

수학적으로 슈뢰딩거 방정식을 다루는 것을 완전히 일반화 시켰습니다.

이를 Formalism이라 하며 수학의 엄청난 힘을 옅볼 수있는 방법입니다.

Formalism은 수학의 vector space를 슈뢰딩거 방정식에 적용시킨 것입니다.

사실 이는 푸리에 변환과 개념이 비슷하지만,

vector space로 슈뢰딩거 방정식을 완전히 일반화하여 논의의 전개를 완전히 명료하게 했다는 점에서 엄청 납니다.

그럼 이 벡터(vector)에대해 간략하게 보겠습니다.

vector라고 부를 수 있는 근거는 총 4개지로 구분이 됩니다.

이때 4번은 물리학에서만 특별히 정의된 것으로 수학적으로는 고려하지 않아도 됩니다.

1은 addition, 2는 multiplication by a scalar, 1, 2를 합쳐 closedness라 합니다. 3번을 inner product, 3번 내부 

를 basis라 하고 이 basis의 갯수를 dimension이라 합니다. 위의 basis vector의 

의 성질은 orthonormality라 합니다.

따라서 위의 1, 2, 3을 만족하면 vector의 개념을 적용시킬 수 있습니다.

이때 위의 3번에 나온 i와 j는 basis vector로 n차원에는 n가지의 basis vector가 있습니다.

논의를 전개하기 전에 inner product에 대한 표현법을 정리하겠습니다.

비교하는 대상이 파동이므로 직접적으로 vector는 아니므로 dot으로 표현하기에는 문제가 있습니다.

먼저 inner procduct의 수식적인 성질을 따지자면 다음과 같습니다.

이를 completeness라 하고

이제부터 이 inner product를 '<', '|', '>' 로 표현하겠습니다. 즉

으로 나타냅니다. 이때 |를 사이에두고 '<u'를 bra, 'v>'를 ket이라 합니다. 

그럼 슈뢰딩거 equation을 적용시켜 보겠습니다. 

아직 슈뢰딩거 방정식이 일반화 되지 않았음으로 한가지 간단한 예로 비교해보겠습니다.

즉 퍼텐셜 우물(infinite potential well)_probability amplitude의 경우를 보겠습니다.

이 퍼텐셜 우물에서는 전자 파동의 집합을 S라 한다면

S는 에서 square integral을 만족하는 함수의 집합이라 볼 수 있습니다. 다시말해

입니다.

이러한 환경에서 위 vector의 성질중 1번을 본다면

이때 schwarlz inequality에 의해

으로 마지막항까지 square integrable됩니다. 

가 됩니다.

위 vector의 2번 성질에서 상수 곱한다는 것은 너무나도 자명하므로 넘기고

마지막 3번 inner product에 대해 보겠습니다.

파동의 내적의 경우 sum을 x의 모든 경우에 한다면 integral이 되어

됩니다.

따라서

입니다.

추가로 앞서증명한 파동함수의 성질로

가 되어 inner product에서 vector space로 정확하게 맞게 됩니다.

더 엄밀하게는 

가 self-adjoint operator이고 sturm-liouville theory에 의해 H의 eigen function은 orthogonal하여 파동함수는 normaligable합니다.

다만 차이가 있다면

vector space으 경우 discrete eigen value이고

양자역학의 경우 continues eigen value입니다.

또한 위 delta function의 성질대로 각 파동함수가 basis function이 되는데

이 basis function이 이론상 무한이 많으므로 무한 차원이 되어 infinite dimension으로

이를 Hilbert space라 합니다.

이떄 에서는 x보다는 파동함수 자체에 의미가 있습니다. 즉 아래와 같이 양자적 '상태'를 나타냅니다.

따라서 이 표기법은 상태 'x'를 무시한 것으로 즉 이것은 파동함수의

물리학적 의미에 대한 것을 내포하고 있으며 단순히 어떤 양자 상태를 표현한다고 볼 수 있습니다.

즉 이 양자'상태'의 추상적 표현(representation-independent)을

라 씁니다. 그냥 상태입니다. 또한 이것은 Hilbert space를 이룹니다.

또한 에 대해 를 정의할 수 있고, 이는 inner product의 단순한 행렬의 변경으로 볼 수 있습니다.

이것도 물론 Hilbert space를 이루고 이를 Dirac notation이라 합니다.

potential well의 generalized statistical interpretation은

이라고 표현할 수 있씁니다. 이때 

의 경우 전체 파동함수에 에 대한 projection, 즉 inner product라 볼 수 있습니다.

입니다.

따라서 은 n번째 에 projection시킨 값이고 은 에 대한 energy 측정을 했을 때 으로 결과가 나올 확률 입니다.

따라서 

즉 은 확률분포로써 자격이 생기고 에너지 관점으로 봤을때

어떤 것을 측정한 대상에 대해 Q를 physical observable angular momentum에 대한 operator라 할때

angular momentum을 라 가정할 때

입니다. 즉 은 angular momentum이 Jj로 나올 확률이고 <Q>는 real입니다.

real이라는 것은 측정하였기에 당위적으로 real이며, 이는 matrix나 ODE로 확인 할 수 있습니다.

먼저 matrix관점에서 본다면

물리학적으로 의미있는 matrix는 symmetric, Hermitian, orthogonal, unitary로 4가지뿐입니다.

따라서 이들만 고려하면 됩니다.

여기서 symmetric과 hermitian은 측정량에 대한 것이고, orthogonal과 unitary는 transformation에 관련된것입니다.

먼저 논의를 전개시키기 앞서 dirac notation이 matrix에 어떻게 적용되는지 보겠습니다.

즉

입니다.

그렇다면 matrix의 개념을 잠시 보겠습니다.

생소한 개념인 hermitian은 다음과 같습니다.

을 만족하는 행렬입니다.

수학적으로도 hermitian에서 diagnal()하면 engenvalue는 real이됩니다.

즉 다시 physical observation Q를 본다면

으로 real이 증명할 수 있습니다. 

이때 inner product가 같다는 것은 다음과 같이 증명가능합니다.(추후추가)

따라서 hermitian이 된다는 것은

를 만족하는 것을 보이면 됩니다.

보편적인 예로

으로 f와 g는 hermitian입니다.

이때 Q는 hermitian matrix가 만족될 수도 있는데,

입니다.

real은 다른방법으로 입증할 수 도있습니다. 이 파동함수는 어쨌든 슈뢰딩거 equation을 만족합니다. 따라서

게다가 

입니다. 여기서 세번째 줄의 증명은 다음과 같습니다(추후추가)

ODE에서는 어떻게 할까요??

바로 Sturm-Liouville Theory를 이용합니다. 이는 수리물리에 나오는 개념이지만 결과만 본다면 다음과 같습니다.

여기서 는 Hermitian operator입니다..

여기에 

라 한다면 슈뢰딩거방정식의 상황에 꼭 맞게 됩니다.

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이제부턴 formalism에 대해 일반적인 교과서들에서 언급되는 내용에대해 다뤄보겠습니다.

먼저 observation에서 Q의 eigen state를 Determinate state이라 합니다. 다시말해

에서 는 Q의 determinate state입니다.

또한 위의 값들의 집합 S를 spectrum이라합니다.

이 spectrum입니다.

또한 

인 경우

를 degenerate라 하고 즉 두 식을 연관 시킬 수 있으므로

과 같이 되고

이는 새로운 basis vector가 될수있습니다.

즉 를 잘 조합해서 orthogonal하게 사용가능하며

익숙한 상황으로 본다면 축의 회전이동입니다.

이런 좌표의 회전이 나왔으므로 Dirac Notation도 다시한번 자세히 보겠습니다.

다음과 같이 좌표에 상관없이 벡터 r은 다르게 표현되지만, 

그 근본적인 r에 대한 벡터의 state는 달라지지 않습니다.

그 r이라는 상태를 |r>이라 하고 이를 ket vector라 부릅니다.

이것이 dirac notation의 근본적인 사항이고 모든 notation을 다 표현하자면

이떄 bra vector즉 <r| 은 무엇일 까요?

바로 내적하는 대상의 연산자라고 생각하면 됩니다. 즉 다시쓴다면

입니다. 그림으료 표현하자면

다음과 같아 즉 |r>가 실체고 <r|로 내적해 준다는 것으로 이해하면 됩니다.

bra와 ket은 dual space이고 수학적 vector space조건을 만족하고 무한개 있으므로 hilbert space입니다.

이해를 위해 몇가지 예를 들겠습니다. 예 두개만 본다면 바로 이해가 될것입니다.

첫번째로 projection operation이 있습니다.

바로 

인데 이를 내적 버전으로 다시 쓴다면

입니다. 이때 

이것이 projection operator라 하는 것은

입니다

다음은 identify operator로 

여기에 그냥 벡터 하나를 대입해 보겠습니다.

그러면 쪼금만 생각해보신다면 다음과 같은 관계가 나옴을 알 수 있습니다.

따라서 파동함수에 도입하면 다음과 같습니다.

입니다.

이제 행렬를 이용해 좌표변환하는 것을 보겠습니다.

다음과 같이 정의한다고 해보겠습니다.

그렇다면

으로 전개가 가능합니다.