자성학 (스핀트로닉스) 공식 정리

정의상 가정	magnetic material_강반자성AFM(antiferromagnetic), 강자성FM(ferromagnetic), paramagnetic, diamagnetic, 자화에너지 자기장(magnetic field)_비오-샤바르법칙(Biot Savart Law)_자석_패러데이 유도법칙 자기 이력곡선 (Hysteresis loop) _ 히스테리시스 곡선 scale of magnetization (자성의 크기)
내용상 가정	이론적 내용을 대충 안다는 가정하에 진행합니다.

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자성에 대한 공식이 워낙 여러가지이기 때문에 자성학 (스핀트로닉스)에 사용되는 공식들을 간략하게 정리해 보겠습니다.

간단한것 부터 막 나열할테니 진하게 되어있는 공식을 찾아 보시기 바랍니다.

먼저 그냥 magnetisation의 경우 bulk하게 모든 magnetic monent를 다 더해 부피로 나눠주는 공식을 사용합니다.

다시말해 M이 magnetisation, m이 mangetic moment를 다 합한것, V가 부피 입니다.

자기 에너지도 외부 자기장 H를 걸어줄 경우 위치에너지에 질량을 곱해주는 것과 같이 계산해 줄수 있는데, 다음 공식은 부피에 따른 에너지 입니다.

M은 magnetisation, μ는 투자율입니다.

보통 spintronics에서는 Weak magnetism, Ordered magnetism으로 분류가 되는데, Diamagnetism, Paramagnetism, // Ferromagnetism, Antiferromagnetism입니다. 사실 이들은 Hystersis loop만 알면 되지만, 이 loop의 의미를 알기 위해선 다음과 같은 공식을 알 필요가 있습니다.

먼저 외부 자기장에 대해 와전류가 생겨서 반대로 생기는 diamagnetism 이라는 현상은 단순히 외부 자기장에 비례하므로 비례상수인 material's diamagnetic susceptibility χ를 써서 나타내면 됩니다.

이때 χ는 보통 -10^-6정도 입니다.

paramagnetism은 Zeeman energy와 관련되는 net magnet에 대한 항으로 Langevin function과 비례합니다. 즉

이고 μ는 magnetic dipole moment이고 k와 T는 열에 관한 항입니다.

Room Temperature에서는 α의 범위가 작기때문에, linear하게 쓸수 있고 그 때는

를 사용합니다, 이때 C는 curie constant입니다. 이때 χ는 보통 10^-3~10^-5정도 입니다.

즉 이 두가지 weak magnetism은 linear하게 직선의 형태를 가집니다.

ordering되는 경우에 대해 보겠습니다.

Ferromagnetism의 경우 Brillouin function과 Langevin function을 사용하는데, 물질과 size에 따라 domain motion과 defect등에 의해 복잡하게 변화하므로 정확한 식을 세우기는 어렵습니다.

Antiferromagnetism의 경우 내부 spin들의 interaction으로 서로 antiparell하게 되어있으므로 외부 자기장에 대해선 paramagnet과 비슷하게 보입니다. 특히 Neel temperature이상에서는 slope이 완전히 paramagnet과 같은 형태로 보입니다.

Hysteresis loop와 같은 경우 antiferro는 구조적으로 외부 자기장에 큰 영향을 받지 않기 때문에, 어느정도 작은 외부 자기장에 대해선 magnetic dipole이 생기지 않습니다.

다만, 한번 saturation된 경우에는 반대방향의 자기장에 대해 서서히 M이 0으로 떨어지게 됩니다.

즉 아래 그림과 같은 형태가 됩니다.

 

Ferrimagnetism도 국부적으로 antiferro랑 같으나 전체적으로 보면 Ferromagnetism이라 보시면 편합니다. Hysteresis loop도 매우 유사하나 Brillouin funtion을 사용할 수 없습니다. 바로 antiferro의 성질이 있기 때문입니다.

사실 Ferromagnetism은 Hystersis보단 Ferrmi band에서 kinetic energy cost와 Density of state에 의해 전류가 들어왔을때 flip이 덜 되는 것에 의미가 있습니다. 이를 Stoner criterion이라하고 다음과 같은 공식을 사용합니다.

이 spin들을 이용한 자성에대한 논의를 진행한다면, exchange energy를 빼놓을 수 없습니다. 이들도 개개를 다 더해야하기 때문에, 에너지인 Hamiltonian으로 계산하는 것이 좋습니다.

즉 exchange integral L이라는 상수를 정의해두고 모조리 더하면 됩니다.

서로 opposite한 spin이 있다면 L은 음수, 평행하다면 양수입니다.

이떄 Heis는 Heisenberg Hamiltonian이라는 뜻입니다. Crystal인 경우 이웃한 원자인 atomic waveform만 고려하면 됩니다. 즉 한 스핀에 대한 항으로만 나오고 외부 자기장을 가한경우 전체적인 spin들은 외부자기장을 따라가므로 effective field를 계산할 수 있게 해줍니다.

여기서 z는 이웃한 spin의 갯수이고, Nv는 unit volume에 magnetic moment이며, g는 Lande g factor이며, μ는 Bohr magneton입니다.

Magnetic 구조체에는 항상 demagnetization field가 있는데요, 이는 기본적으로 sample의 shape때문에 발생합니다. 따라서 Demagnetising field를 N이라고 하면 demagnetization field는

입니다. N은 전적으로 sample에 모양해따라 tensor function을 갖고 있습니다. 또한 모든면에 N을 합치면 항상 1이 나와야합니다. 즉 무한한 길이의 판때기에서 out of plane방향으로 나오는 자기장은 0이 됩니다.

이떄 demagnetization에 의한 에너지를 본다면 또 신기합니다.

이때 1/2는 에너지의 source가 같으므로 두번 반복되는 것을 방지한 것이고 무한한 film에선 out of plane으로 에너지가 위 처럼 생성되고 inplane방향으로는 에너지가 0이게 됩니다.

사실 anisotropy가 shape으로만 나타나는 것이 아닌, crystal구조에서도 나타납니다. 사실 이 crystal에 의한 anisotropy가 현 스핀트로닉스 Memory의 핵심입니다.

그럼 간단하게 이 anisotropy를 결정하는 에너지를 살펴보겠습니다.

물론 이 식은 uniaxial, 즉 한개의 crystal easy axis를 가진 경우 입니다. Kn은 anisotropy 상수로 Jm^-3의 단위를 가지고 있고 각각 다른 의미가 있습니다. K0는 M과 관련없는 그냥 상수입니다. 무시하셔도 좋습니다.

그러나 K1같은 경우 가장 큰 term으로 보통 K값이라 한다면 K1을 지칭합니다.

이 K값은 물질마다 다르고 Histeresis의 Hk값으로도 유추할 수 있습니다.

사실 이 crystal anisotropy의 경우 한 물질에서는 너무 작기때문에 두가지저오 물질을 층층히 쌓았을 때 그 위력을 발생시킵니다. 보통 Co/Pd layer나 Co/Ni layer나 MgO/CoFeB/Ta 같은 조건에서 엄청나게 강한 anisotropy가 발생합니다. (원리가 궁금하시다면

magnetic perpendicular anisotropy(수직 이방성) _ demagnetization(반자화))

그렇다면 K1값은 어떻게 구할 수 있을까요?

바로 In-Plane Hysteresis loop를 통해 쉽게 구할 수 있습니다.

즉 Hk를 구해 윗 공식에 대입한다면 K1의 값을 구할 수 있습니다.

사실 anisotropy는 K1값보다 Keff값이 더 중요합니다.

Keff는 anisotropic free energy density에 쓰이는 값으로써

입니다. surface 두께를 d라고 하면

가 됩니다.

이를 입자 관점으로 나타낸다면,

로 energy density를 나타낼 수 있습니다. 참고로 η는 dimension이 없는 단순 비교 항입니다.

어느정도 자성에 관해 보았으니 이제 자성에서 파생되는 전기적인 성질에 대해 보겠습니다.

먼저 익히 알고 있는 로렌츠 힘으로 발생되는 Ordinary Hall effect(OHE)의 경우 외부 자기장에 의해 움직이는 전하에 발생하는 힘과 외부 전기장에 의한 힘의 균형이 맞춰지는 지점을 찾는 것으로 간단한 식을 정리 할 수 있습니다.

w는 bar의 width이고 J는 전류 밀도, B는 자기장 E는 전기장 입니다. 

이는 Tensor로 정리하면 쉬운데

으로 표현됩니다. 다시말해 전류가 흐르는 방향과 전압이 나타나는 방향이 다른것을 표기한 것입니다.

여기에 Anomalous Hall Effect(AHE)가 적용된다면 윗 식에 추가만 하면 됩니다.

참고로 AHE는 OHE보다 10배 이상 크기 때문에 훨씬 잘보이는 중요한 signal입니다.

즉 전압과 전류의 방향이 다른 항에 AHE에 대한 항을 놓으면 되므로