Magnetic Domain (도메인)_ magnetostatic energy

정의상 가정	자기 이방성 에너지(magnetocrystalline anisotropy energy) Zeeman energy (지만 에너지) 교환 상호작용(exchange interaction)
내용상 가정	스핀 홀 효과(spin hall effect, SHE)_Anomalous Hall effect(AHE), ISHE [핵심] spin torque : field like torque VS damping like torque
공식	Bloch $$\varepsilon _B =\frac{1}{2}\sigma _0 (\frac{\omega_0}{\omega}+\frac{\omega}{\omega_0})+\frac{2\pi \omega^2M^2}{\omega +\delta}$$ Neel $$\varepsilon_N=\frac{1}{2}\sigma_0(\frac{\omega_0}{\omega}+\frac{\omega}{\omega_0})+\frac{2\pi\omega \delta M^2}{\omega+\delta}$$
단위
응용	DMI (Dzyaloshinskii-Moriya interaction)

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

 

물질은 항상 에너지가 낮아지는 쪽으로 가는 경향이 있습니다.

자성체 내부에서도 에너지가 낮아지는 경향은 모두 제각각인데, 

exchange energy는 정렬될수록 작아지며, magnetostatic energy는 무질서 할 수록 작게 됩니다.

이 magnetostatic energy에 대항하여 어떻게든 energy를 낮추기위해 구조적으로 분리되는 형태를 바로 domain wall 이라 합니다.

위 그림과 같이 자성체의 자성이 둘로 나눠진 개개를 domain이라 하는데, domain간의 경계를 transition layer즉 wall energy가 만힝 소모 안되게 gradually하게 변화하는 것을 domain wall이라합니다. 이들은 magnetic free pole의 coulomb interaction으로 발생하는 mangetostatric energy에 절대적으로 지배를 받습니다.

$$E=E_{exchange}+E_{magnetostatic}+E_{anisotropy}$$

Ferromagnetic domain으로 Block Wall 이 있고 이들은 전체 에너지를 감소시키는 방향으로 만들어 집니다.

 

먼저 exchange interaction은 간단하게는 이웃한 스핀사이에 상호작용입니다.

$$-2J\sum_{i,j}\vec{S}_i\cdot \vec{S}_{j}$$

다음으로 magnetostatic energy의 경우 자성체에서 발생하는 magnetic field 이라고 보시면 됩니다.

또한 anisotropy energy는 자성이 정렬하고자하는 방향을 나타낸 것으로 중요한 사항은 위에 표에 있는 링크를 눌러 확인해 주시길 바랍니다.

magnetostatic energy만 따진다면 외부로 나가는 자기장이 적은 경우가 에너지가 가장 낮으므로 외부로 유출되는 field가 0인 closure인 경우가 가장 좋습니다. 따라서 잘게 쪼게지는게 가장 선호합니다. 그러나 위그림과 같이 많이 쪼게게 되면 어쨌든 spin이 변화하므로 exchange energy가 높아지게 됩니다.

참고로 왼쪽 domain의 형태를 Laminate domain이라 하고, crystal surface에서 magnetostatic energy는 Laplace's equation을 푼다면,

$$\varepsilon_s=\frac{M^2d\mu_0}{\pi^2}\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2 d}\int_0^d sin~n(\frac{\pi}{d})xdx=5.4\times 10^4 M^2d$$입니다.

따라서 magnetostatic energy는 domain width가 작아질수록 감소하며, 더 많아질수록 energy가 더 감소하게 됩니다. 그러나 domain을 형성하는 energy cost가 들기 때문에 무작정 많이 만들수는 없습니다.(이는 magnetoelastic energy를 줄인다고 생각하셔도 됩니다.)

 

그 cost가 바로 exchange energy인데, 우리가 익히 알고있는 위에서 보인 exchange energy를 이웃한 스핀이 각을 이루며 존재한다고 할때 수많은 가정에 의해

$$U_{ex}\approx JS^2\theta^2+2JS^2$$

즉 에너지가 감소하기 위해 각도가 0이되면 좋겠지만, 어쩔수 없이 각도가 있어야한다면 최소한의 각도로 변화되는 것이 좋습니다. 즉 만약 domain이 나눠져서 domain wall에서 각도 𝛉만큼의 변화가 있어야 한다고 할때, N번의 spin을 거쳐 변화하는게 좋으며, 한 이웃한 스핀당 𝛉/N의 변하를 거치며 변화 하므로 총 에너지는

$$U_{ex}\approx (N+1)JS^2\frac{\theta^2}{N^2}\approx JS^2\frac{\theta^2}{N}$$

입니다. 즉 exchange energy관점에서는 magnetostatic energy와는 반대로 domain wall의 두깨가 늘어날수록 에너지가 낮아집니다.

여기서 또 두깨가 늘어나면 높아지는 에너지가 있습니다.

바로 anisotropy energy인데요, domain wall의 두깨가 a라 할때 N개에 해당하는 spin의 에너지는

$$\varepsilon_a\approx KNa$$입니다. 이때 K는 anisotropy constant입니다. 따라서 종합하면 앞에서나올 Blcoh wall을 가정할때 wall energy density는 

$$\varepsilon _{wall}\approx \frac{\pi^2JS^2}{Na^2}+KNa$$

입니다.

따라서 domain이 많을 수록 magnetostatic energy는 작아지나, domain wall의 에너지는 커지게 됩니다. 이 domain wall은 입자가 100nm정도 이하가 된다면wall에서 에너지 손실이 외부 자계에너지가 변화하는 것보다 너무 크기 때문에 에너지 측면에서 domain wall이 없어지게 됩니다. 다시말해 single domain으로 형성되는데, magnetostatic enery는 엄청나게 크고 domain wall energy는 없는 상태가 만들어집니다. 이들은 전적으로 입자의 결정구조와 입자의 형태에 영향을 많이 받습니다. 

 

http://www.study-on-line.co.uk/whoami/thesis/chap5.html

이때 domain wall에서 회전하는 방향에 따라서 type을 두가지로 나눌쑤 있는데, Bloch walls과 Neel walls입니다.

그림으로 보면 너무 직관적으로 구분히 될텐데, 위쪽 그림과 같습니다.

즉 wall이 inplane으로 회전하느냐, 수직하게 회전하느냐에 따라 나눌수 있습니다.

demagnetizaiton때문에 Bloch는 두꺼을 경우 존재가 가능한데, 얇아진다면 Bloch는 사라지고 Neel만 존재하게 됩니다.

 

Bloch부터 자세하게 보자면, 위에서 보앗듯 anisotropy energy와 exchange interactio을 써서 에너지를 구할 수 있고, 여기서 demagnetizing energy까지 삽입해야하므로 모두를 고려한다면,

$$\varepsilon _B =\frac{1}{2}\sigma _0 (\frac{\omega_0}{\omega}+\frac{\omega}{\omega_0})+\frac{2\pi \omega^2M^2}{\omega +\delta}$$입니다. 여기서 𝛔는 surface energy, 𝛚는 wall width, 𝛅는 thickenss입니다.

 

다음으로 neel wall을 살펴본다면, Bloch에서 anisotropy와 exchange interaction은 변화하지 않습니다. 다만 demagnetization surface energy density만 달라지어 다으모가 같은 에너지가 유도 됩니다.

$$\varepsilon_N=\frac{1}{2}\sigma_0(\frac{\omega_0}{\omega}+\frac{\omega}{\omega_0})+\frac{2\pi\omega \delta M^2}{\omega+\delta}$$

 

즉 wall width가 감소하면서 exchange interaction과 magnetostatic effect이 주요한 parameter가되어 neel wall energy가 중요해 집니다. 즉 위 그래프와 같은 개형으로 발전합니다.

 

위 그림에서 Cross tie wall이라는 domain wall도 보이는데,  긴 막대 띠에 domain들이 180도로 변해가며 위치에 따라 어쩔수 없이 free pole이 있는경우 vertex구조의 domain으로 energy를 낮춰주는 것으로 exchange energy를 낮추는데 적합한 domain wall 입니다.

 

또한 물질의 edge에서는 90도 회전하는 wall이 있는데, 이는 앞선 closure domain에서 자주 보입니다.

즉 edge와 domain은 절려되는걸 엄청 좋아해서 stray feild가 없는 그런 자성체를 만들 수 있습니다.

 

즉 각각의 domain은 45도의 각도를 이루며 domain wall을이룹니다. 이때 surface charge가 존재하지 않도록 

$$\rho_s=-\nabla \cdot M=M_1\cdot n -M_2\cdot n=0$$

으로 n은 45도 입니다.

 

180도의 domain wall에서는 domain wall이 normal vector에 항상 perpendicular이기 떄문에 normal vector는 0도입니다.

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이제 자성의 magnetization switching관점에서 보겠습니다.

아래 외부자기장에 대한 자성의 변화를 나타낸  그래프인 B-H 히스테리 곡선을 보겠습니다.

위 그림은 강자상체에 외부 자기장을 걸어줬을때 내부 자기장을 측정한 그래프입니다. 가장 처음에는 내부자장이 0인 원점에서 출발해 보겠습니다. 점점 증가시키면 빨간색 선과 같이 증가하여 자구장벽을 옮기며 커집니다. saturation되었을 때는 완전히 외부 자기장에 맞춰 회전하게 됩니다. 이제 점점 반대로 걸어준다면 다시 wall이 생기며 감소하게 됩니다. 이때 외부자기장이 0이 되었을때 물질이 가지고 있는 자기장을 잔류 자화라 부릅니다. 더 자세한 그래프에 대한 내용은 자기 이력곡선 (Hysteresis loop) _ 히스테리시스 곡선을 참조해주세요!!

즉 domain wall의 displacement와 rotation이 일어나게 되고 이것은 Zeeman energy를 최소로 유지하는 방향으로 진행 됩니다.

먼저 single domain인 경우 coherent magnetization rotation을 가지게 되고 이는 외부자기장 방향으로 점점 각도가 증가하다가 어떤 특정각도를 지나면 불연속적으로 확 스위칭 해버리는 과정을 갖습니다. 즉 외부자기장 H가 가해지게 되면 magnetization M과의 각도 𝛃가 변화하며 switching이 되게 됩니다. 에너지 관점으로 생각해본다면 단순한 zeeman energy와 easy axis와  M값의 관계에 의해

$$E=-MH\cos \beta + K_i\sin^2(\beta - \alpha)$$

입니다. 여기서 에너지의 최소점을 찾는다면

$$\frac{\partial ^2 E}{\partial \beta}=MH\cos \beta +K_i\sin 2(\beta-\alpha)=0$$

일 겁니다. 이렇게 에너지가 최소화가 되는 지점으로 향할때, 두 포인트는 에너지가 증가하기도 감소하기도 합니다 따라서 이중미분을 한다면,

$$\frac{\partial ^2 E}{\partial \beta ^2}=MH\cos \beta + 2K_i \cos 2(\beta-\alpha)$$

인데 이것이 0이 될때 이후에 자기장을 가하지 않아도 magnetization은 회전합니다. 이 각도를 𝛃0라 하겠습니다.

 

따라서 외부 자기장이 증가하면서 Magnetization은 easy axis에서 멀어지도록 𝛃가 커지며 회전을 하게되고 연속적으로 𝛃0에 도달한다면 갑자기 𝛃1으로 바뀝니다. 즉 𝛃0에 도달하는 자기장을 가한다면 그 이상의 자기장은 switching에 불필요 합니다. 

사실이 𝛃0를 갖는 critical field는 pattern의 dimension에 따라 바뀌게 됩니다.

또한 초기 M의 위치인 𝛂도 영향을 미치는데, 실험적으로 45도가 가장 작은 critical field를 갖게 합니다. 이는 초기 MRAM에서 사용되다가 sellection 문제로 더이상 사용하지는 않습니다.

이제 domain 전체의 상황을 생각해 볼때, 자기장이 아닌 전류에서는 3가지 motion을 갖게 됩니다.

첫번째로 가장 왼쪽그림과 같이 외부에 전류를 흘려주게 되면 전류에 의한 자기장이 위아래로 반대로 가해주게 되어 domain의 중심은 움직이지 않고 수직적으로 비스듬한 모양의 domain이 생기게 됩니다. 물론 박막에서는 이마져도 상쇄가 되기 때문에, 외부 전류로는 절대 domain wall을 움직일 수 없습니다.

 

중간 그림처럼 domain 내부에 전류를 흘리게 된다면 domain drag force라 하여 domain내부의 자성에 따른 anomalous hall effect에 의해 domain wall근처에서 전류가 윗쪽으로 향하게 됩니다. 이 eddy current는 magnetic field를 왼쪽과 오른쪽 domain에 같은 방향으로 magnetic field를 생성하여 domain이 움질일 수 있습니다. 물론 이것도 박막에서는 eddy current가 존재할 수 없으므로 볼 수 없습니다. 이 domain drag force는 박막 두께에 비례합니다.

 

마지막으로 spin-torquef를 이용하여 s와 d orbital의 exchange force를 이용한 방법이 있습니다.

3d는 자성체의 자성을 나타내는 것이고 4s는 conduction electron인데,  3d가 4s전자에 magnetization을 주고 4s가 전류를 통해 이동하여 4s가 다음 자성체의 3d에 영향을 주는 것입니다.

즉 4s가 domain wall에 주입이 된다면, exchange field가 spin을 align시키고, 4s는 계속 그 위치에 3d spin에 영향을 주게됩니다. 즉 domain 전체를 점점 이동시키는 것입니다. 

 

입니다. 이때 에너지는 DMI (Dzyaloshinskii-Moriya interaction)에서 이어지니 다음 포스팅에서 확인하세요!