정의상 가정 |
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ReRAM (Redox Based Resistive Ram) 터널자기저항(tunnelling magnetoresistance, TMR) 스핀 의존 터널링(spin dependent tunneling, SDT) _spin polarization_tunneling spin polarization,TSP |
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Tunneling Current라는 것은 어떤 두 도체 사이에 부도체(insulator)가 있을 때 양쪽의 전자의 Wave Function이 중첩되어 마치 전자가 흐르는 형태가 되어 전류가 흐르는 것을 말합니다.

이러한 두 도체(혹은 반도체) 사이에 부도체가 있는 것을 물리학적으로 E가 양수인 Potential Wall이라 합니다. 이러한 상황의 특징은 그저 wave function이 잘 존재하고 wall이 존재하는 극단에 wave들이 연속성을 유지해야하므로, wave가 0으로 수렴해야한다는 것 입니다.
이전 포스팅에 다루었던 유도과정을 살짝 옅보자면


으로 대략 여러가지 파동함수들의 중첩으로 거리에 따라
e−4κα
으로 감소하며 투과할 수 있다는 것입니다.
이를 근사하여 확률로 다시 표기한다면,
D(Ex)=exp{−(4π)/(h)∫s2s1[2m(V(x)−Ex)]1/2dx}
입니다. 참고로 s_1은 potential wall이 ferimi level을 넘을 때의 위치고 s2는 wall이 potential wall 보다 감소할때의 거리입니다.(위쪽 그림에 표기되어있습니다.)
이제 확률을 알았으니 끝났습니다.
이제 확률로 전체 전자중 몇개가 갈수있는지 구하고, 이 갯수를 단위시간동안 생각한다면 전류가 됩니다.
확률식에 운좋게도 가해준 전압에 대한 식이 나와있으므로 논의는 전압 전류의 관계로 tunneling 저항도 구할 수 있습니다.
하나씩 천천히 구해보겠습니다.
먼저 확률을 알고있으므로 전자 밀도를 곱하면 됩니다. 여기선 전자를 입자로 생각하여 운동에너지의 속도로 생각해서
Ex=12mv2x을 대입하여 모든 속도에 따른 전자를 계산한다면
N1=∫vm0vxn(vx)D(Ex)dvx=1m∫Em0n(vx)D(Ex)dEx
이제 단위 부피당으로 생각하기 위해 Fermi Dirac Distribution function을 적용해 전자밀도를 구한다면
n(v)dvxdvydvz=2m4h3f(E)dvxdvydvz
⇒n(vx)=2m4h3∫∫∞−∞f(E)dvr
=4πm3h3∫∞0f(E)dEr
여기까지 eletrode 1에서 eletrode 2로 넘어가는 전자의 갯수를 보았습니다.
이제 2에서 1로 넘어가는 전자의 갯수를 구해본다면, 다 똑같으나 Fermi level이 eV만큼 아래에 있으므로 E대신 E+eV를 사용하면 됩니다.
N2=4πm3h3∫∞0f(E+eV)dEr
따라서 넘어가는 총 전자갯수는
N=∫Em0D(Ex)dEx×4πm2h3∫∞0[f(E)−f(E+eV)]dEr]
입니다. 알아채셨을지 모르겠지만, 지금까지 시간에대한 차원이 들어있었습니다. 단위면적으로 계산한것이아닌 속도로 계산하여 시간으로 항상 나눈 상태였습니다. 따라서 위의 전자 갯수 N에 전하량 e를 곱하면 전류입니다.
J=∫Em0D(Ex)dEx×4πm2eh3∫∞0[f(E)−f(E+eV)]dEr]
이 식을 간단하게 하기위해
ξ1=4πm2eh3∫∞0f(E)dEr
ξ2=4πm2eh3∫∞0f(E+eV)dEr
로 정의하여
ξ=ξ1−ξ2
를 표기한다면 전류밀도는 간단하게
J=∫Em0D(Ex)ξdEx
로 표기할 수 있습니다. 이제 그림에 적용하여 실제의 모든 파라미터를 적용한다면
D(Ex)=exp[−4πh(2m)1/2∫s2s1(η+ψ(x)−Ex)1/2dx]
이고 이는 다음을 정의해서 쉽게 근사할 수 있습니다.
ˉψ=1ΔS∫s2s1ψ(x)dx, A=(4πβΔsh)(2m)1/2
⇒D(Ex)≈exp[−A(η+ˉψ−Ex)1/2]
따라서 전류밀도 식에 바로 대입할수있는데, 여기서
ξ=((4πmeh3eV)0<Ex<η−eV4πmeh3(η−Ex)η−e<Ex<η0Ex>η)
와 같이 구간을 나눌수 있습니다. 따라서 완성된 전류 밀도는
J=4πmeh3{eV∫η−eV0exp[−A(η+ˉψ−Ex)1/2]dEx+∫ηη−eVexp[−A(η+ˉψ−Ex)1/2]dEx}
이제 수학적으로 잘 적분만 하면 됩니다. 적분을 잘 한다면
J=e2πh(βs)2{(ψ−eV2exp[−4πβsh(2m)1/2(ψ−eV2)]−(ψ+eV2exp[−4πβsh(2m)1/2(ψ+eV2)])}
입니다. 여기서 모르는 항이 바로 B인데, 이는 단순 상수로
β=1−(eV)2/96(ψ0+η−Ex−eV/2)2
인데 식을 사용할수있는 범위인 0<V<ψ/e 에서는 값이 변경되어도 오차율이 1%이내로 되기 때문에 B=1이라 가정합니다.
이제 실생활에서 식을 쓰기위해 Voltage와 전류의 식으로 만든다면 절연층의 두깨를 d, 가해준 전압을 V라 한다면,
J(V)=e2πh⋅1d2(ˉψ−eV2)exp[−4π√2m∗eh⋅d⋅√ˉψ−eV2]−e2πh⋅1d2(ˉψ+eV2)exp[−4π√2m∗eh⋅d⋅√ˉψ+eV2]
윗식은 에너지 단위 빼고 모두 MKS단위 입니다. 에너지의 경우 h가 6.626 070 040(81) × 10−34 J·s의 단위를 가지고 있고, eV는 1 eV = 1.60217646 × 10-19 J입니다. 따라서 eV로 통일시켜야하며 수식적으로 자릿수가 너무 많으므로 d를 nm단위로 사용하고, 유효 질량을 전자 질량과 같다고 근사한다면,
A=4π√2m∗eh=A0√m∗eme eV−1/2nm−1
A0=4π√2meh=10.246 eV−1/2nm−1
C0=e2πh=6.166×108 eV−1nm2
로 상수를 정의한다 할때
J(V)=C0d2(ˉψ−eV2)exp[−A⋅d⋅√ˉψ−V2]−C0d2(ˉψ−eV2)exp[−A⋅d⋅√ˉψ+V2]
V에 직접가해준 V를 넣고 J를 측정한 I에 면적을 cm2단위로 나눠주면 됩니다. 다시말해
d : nm, ψ : eV, J : A/cm2으로 실제 측정한 값과 잘 맞습니다.
그러나 박막이 조금만 두꺼워져도 잘 맞지 않습니다.
그 이유는 바로 두껍게 막을 증착하면 성질이 자꾸 바껴서 multi layer 절연층과 같은 효과를 보기 때문인데 이럴때는 다른 해결방법이 있습니다.
위 방법은 Simmons라는 분이 J. Appl. Phys. 34, 1793 (1963)라는 논문에서 제시한 방법으로 Barrier를 사이에 두고 흘러가는 conduction flux인 Fx와 양자역학적 Tunneling 확률을 구형의 Fermi sea전반에 걸처 적분한 값입니다.
J=e∫Ef0P(Ex)FxdEx
여기에 WKB 근사법을 차용하여,
P=exp[−2(2mℏ2)1/2∫d0√U(x)−Edx]
윗 식을 전개하였지만, 이 식은 insulator 내부에 많은 차이가 있는 multilayer의 경우 가장 큰 barrier에 의해 current가 제안되기 때문에 적용이 되지 않습니다. 따라서 절연층 거리별 새로운 Barrier의 상태를 가정해서 더해야 합니다. 따라서
J(V)=(∑iC0(d/Δxi)2(ˉψ−eV2))exp[−∑iA⋅d⋅√ˉψ−V2]−C0d2(ˉψi−eV2)exp[−A⋅d⋅√ˉψ+V2]
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