스핀세차운동토크(spin precession torque)

정의상 가정	spin in quantum mechanics magnetic material_강반자성AFM(antiferromagnetic), 강자성FM(ferromagnetic), paramagnetic, diamagnetic, 자화에너지 자기모멘트(magnetic moment) Zeeman energy (지만 에너지)_spin in a magnetic field 토크(torque)
내용상 가정
공식
단위
응용	자화의 운동방정식(Landau-Lifshitz-Gilbert, LLG)

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

 

다음 그림과 같이 spin angular moment m을 가지고 있는 전자에 외부자기장 B를 인가하는 경우를 보겠습니다.

이런경우 어떻게 될까요? 직관적으로 자석이라 생각한다면 외부자기장 B와 같아지도록 m이 움직일 것 같지만, 실제로는 그렇지 않습니다.

달과 지구가 만유인력을 받지만 떨어져서 도는 것처럼 여기서도  steady state로 외부자기장과 spin angular moment가 각도 θ를 이루며 회전(precession)하게 됩니다. 에너지가 보존 되면서요.

 

이러한 경우는 외부자기장이 걸렸을때 굉장히 자연스럽게 발생하며, 스핀의 방향을 바꾸는데 가장 기본적인 모델입니다.

이에대해 자세히 알아보겠습니다.

이런 세차운동의 물리적 원인은 s-d exchange을 포함한 정말 많은 물리적 현상입니다.(band width가 두꺼운 orbital이 움직이기 힘드므로 d의 경우 원자에 속박되어있는 전자)

다시말해

등 많은 origin이 있습니다.

주로 이 현상을 설명할 때는 Model Hamiltonian이라는 물리적 방법을 사용해 이 현상에 기여하는 가장 큰 현상을 몇개만 뽑아 물리적 원인이라 말하지만, 사실 뒤의 LLG equation 포스팅에서 다루겠지만, 벡터적으로 spin의 에너지를 보존시키는 항과 보존시키지 않는 항을 나누어 보존시키는 힘들은 모두 세차운동토크인 Field like 이라 하여 몰아 넣고 이외 에너지를 손실시키는 항을 damping like이라하는 항에 몰아 넣습니다.

이렇게 물리적인 orgin을 고려하지 않고 에너지 보존항과 보존되지 않는 항을 나누어 식을 만들어 놓으니 어디서나 성립가능한 spin dynamics의 지배적 이론이라 볼 수 있습니다.

그러나 물리적 원인에 대한 이해를 돕기위해 가장 가장 큰 힘이라 알려진 spin-spin 의 interaction, spin-electron charge의 interaction, spin-phonon의 interaction등을 주로 세차운동 torque의 orgin이라 봅니다. 

본 포스팅에서는 θ가 일정한 stable한 상황을 다루겠습니다.

왜냐하면 저 θ가 커지거나 작아지는 상황은 에너지가 변화하는 상황이므로 damped하다 하여 다음 포스팅  자화의 운동방정식(Landau-Lifshitz-Gilbert, LLG)_스핀 감쇠(spin damping)_ spin dynamics에서 논의하겠습니다.

 

단순한 상황이지만 단순한 상황일 수록 수식으로 이해하는게 좋습니다.

수식을 보기전에 몇가지 기호 정리를 하자면

로 M은 좌화이고 은 자화의 크기인 포화자화량으로 은 자화방향의 단위벡터입니다.

 

stable한 경우를 보자면 먼저 θ가 변하지 않습니다. 또한 단위벡터 은 크기는 1로 변하지 않고 방향만 바뀌므로 과 가 만드는 평면에 수직한 방향으로 가 발생합니다.

 

앞서 magnetic material_강반자성AFM(antiferromagnetic), 강자성FM(ferromagnetic), paramagnetic, diamagnetic, 자화에너지에서 정의했듯 자화에너지는

이므로 자화에너지를 증가시키거나 감소키시지 않는 energy conservative합니다.

 

모든 물리학적 내용이 그렇듯 세차운동에서 운동에 대한 정보를 알아야 하므로 운동에 대한 정보를 알아보기위해 Eherenfest's theorem에 의해 observable x의 시간에 따른 변화량인

식에 대입해보겠습니다.

갑자기 양자역학이 등장했는데, 사실 양자역학이 지금까지 위배된적 없는 물리적 현상을 설명하는 기본식이므로 이를 사용하게 됩니다.

양자역학에선 몇가지 operator가 있는데(클릭하시면 포스팅을 보실 수 있습니다.) 이들 중 H는 Hamiltonian이라 하여 에너지를 나타내는 operator이고 관측가능한 physical quantity를 나타내는 operator인 O를 이용하여 여기에 스핀 operator인 σ을 치환하면 적용 가능합니다, 참고로 Commutation ( commutator ) relation_ladder operator, creation operator, annihilation operator에 대한 포스팅도 있습니다!

이때 는 계를 기술하는 Hamiltonian이고 자성계의 Hamiltonian을 대입하고 정리해본다면, 자화 은 전자스핀 에서 유추하였으므로 observable x는 이고 Hamiltonian은 입니다.

γ는 자기회전비율(gyromagnetic ratio)로 비례상수입니다!

로 정의합니다.(이때 g는 Lande g-factor로 고체 내의 전자는 2보다 약간 크고 분리되어있는 전자는 2.0023193이며 Fe, Ni, Co같은 자성체는 2.2이나 혼합물에 따라 확연히 달라집니다., 는 Boh magneton입니다.)

 

이제 임을 기억하고,

으로 정의할때

이므로 대입하면 아래 식을 유추할 수 있습니다.

이때 자기모멘트 를 대입하면

가 나옵니다. 즉 외부자기장에 대한 spin angular moment의 운동방정식을 정의 할 수 있습니다.

 

이떄 B는 교환 상호작용(exchange interaction) 자기장, 자기 이방성 에너지(magnetocrystalline anisotropy energy)자기장, 정자기 자기장, 외부자기장, 열적 섭동장(thermal fluctuation field), Dzyaloshinskii-Moriya자기장, 자기변형에 의한 자기장이 영향을 줍니다.

추후 더 정확한 물리적 설명과 공식을 추가하겠습니다.

읽어주셔서 감사합니다!