드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility)

 

 

 

 

정의상 가정	원자, 전위(electric potential 전위차), 전기장(electric field)
내용상 가정	valence electrons 이외의 전자는 ion atom cores에 묶여있다. cores를 무시한다 전자 가스를 가정한다. 가속을 방해하는 정도의 힘은 전자의 속도와 비례한다. Restoring Force는 무시한다.
공식
단위	A
응용	옴의 법칙(ohm's law), Free electron model(Drude–Sommerfeld model)_density of states, Fermi level

 

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

 

 

↑주황 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

 

Drude model은 어떤 물질에 전기가 흐를 때 나타나는 현상을 해석해 논것입니다.

 

결론부터 말하자면 틀린 이론이지만, 우리가 일반적으로 인식하고 있는 여러가지 전기 현상의 개념을 나타냅니다!

또 금속 자체에는 맞는 이론이라 현재도 많이 쓰이고 있습니다.

 

다음과 같은 상황에서 전하들은 어떻게 움직일 까요??

물론 전기력을 받을 겁니다.

그러나 실제에서는 더욱 복잡합니다.

물질의 내부는 원자로 구성되어 있으니까요.

 

이런 전기 현상을 해석하기 위해 Drude model이 다음을 가정하였습니다.

1. valence electrons 이외의 전자는 ion atom cores에 묶여있다.

2. cores를 무시한다

3. 전자 가스를 가정한다.

이때 전자 가스를 가정한다는 것은, 전자를 다루는 것에 통계적인 방법인 

Maxwell-Boltzmann statistics를 적용한다는 것입니다.

 

즉 위와 같은 가정을 함으로 써

1. Constant potential background에서 전자가 자유 입자로 움직임을 다룸

2. 전자는 구분할 수 있고 서로 동일함

3. Maxwell-Boltzmann statistics를 적용

이 가능하게 됩니다.

 

본격적으로 논의하자면

먼저 전류에 대한 정의를 하고 가야합니다.

Drude model에서는 어떤 면적을 1초동안 몇개의 전하가 통과했는 가를 나타내는 것을 전류(current)라고 정의했습니다.

이때 cores는 무시한다고 가정했으므로 전하는 전자밖에 없습니다.

이를 계산하는 방법은 단위 부피당 존재하는 전하량을 1초동안 전자가 퍼지는 부피를 곱합니다.

즉 부피당 존재하는 전하량은 전자의 전하량 x 단위 부피당 전자의 갯수가 되고 부피는 전자가 통과하는 면적x 통과한 길이 / 시간으로 정의됩니다. 

이때 l/t는 속도입니다. 따라서

입니다. 이때 면적밀도를 적용해서 단위 면적당 통과하는 전자의 전하량을 정의합니다.

이를 전류밀도라 하며 입니다.

 

내부적인 상황에서 

당연히 potential이 걸려있기 때문에

전자에는 힘이 작용할 테고 에 의해 가속을 받게 됩니다.

으로 가속을 받는다고 볼 수 있고, 실제적인 속도는 다음과 같습니다,

여기서 전류밀도 J와 전기장 E의 관계로만 정리하기 위해

를 정의하고 로 하며 를 conductivity라고 합니다.

여기서 문제가 생깁니다. 

실제로는 어느정도 가속이 되면 더이상 가속이 안되는 것입니다.

Drude model에서는 이러한 현상을 전자가 원자핵과 물리적으로 충돌하여 가속이 중간에 멈춘다고 보았습니다.

즉 Electric field가 인가되어 전도전자들이 움직일 때 입자와 충돌로 인해 운동에너지가 감소한다고 보는 것입니다. 

가속을 하다가 멈추므로 어느정도 steady state에 이르면 일정한 속도로 움직인다고 볼 수 있습니다. 

이때 가속을 방해하는 힘이 속도와 비례한다고 가정합니다. 따라서 를 시간에 따른 운동량이라 한다면 운동량은 질량X속도 이므로 속도와 비례하게 됩니다. 이때 방해하는 정도('viscosity’)를 라고 한다면 방해하는 힘은 입니다.

즉 운동량으로 이를 계산한다면 전체 운동량 변화는 가해주는 힘에 방해하는 힘을 빼야합니다.

즉 이고 첫항을 response(ma), 두번째항을 Drag, 세번째항을 Driving Force, 네번째항을 Restoring Force라 할 수 있습니다,

이때 restoring Force는 힘이 미미하여 무시한다면, 

이 되고 이 방정식의 해는이며 steady state는 인 상태인 

입니다.

따라서 평균속도 는 

  -(1)이며 이를 drift velocity라 합니다.

이때 충돌 직후 x방향으로 i번째 위치에서 속도를 라 하고 전자의 마지막 충돌시간을 이라 하면 에선 가속되므로 시간 t에서 x방향으로의 i번째 속도성분은 이라고 정의할 수 있으므로 i=1에서부터 N까지 전자들의 평균속도는

이다. 를 평균자유시간(average free time)으로 윗식 (1)과 비교하면 와 같음을 알수 있습니다..

 

이때 전기장만 따로 뺀다면 방향을 무시한다면(기호를 무시한다면)

로 

를 유동 이동도(drift mobility)라 합니다.

따라서 전류밀도는 

입니다.

 

여기까지가 Drude model인데요.

번외로 Drude model은 여러가지를 설명하려고 시도합니다.

1. metal과 insulator의 구분

2. metal에서의 전기적인 transport(Hall effect & AC conductivity)

3. metal의 Thermal conductivity

 

metal과 insulator를 구분하는 것은 로 가능합니다. 온도가 올라갈경우 저항(1/conductivity)의 변화가 작용하는데,

metal일 경우 온도가 올라갈수록 cores의 흔들리는 반경이 커지는 등의 영향으로 불순물과 충돌이 많아져서 mobility 가 느려져서 저항이 증가하고, 

non-metal의 경우 온도가 올라갈수록 생성되는 n이 많아져 흐를 수 있는 전자가 많아져 저항이 낮아지게 됩니다.

 

전기적인 transport에 대해선 응용에서 다루겠습니다.

 

그러나 Thermal conductivity에 관해선 완전히 실패합니다. 이 Thermal conductivity가 다른 모델을 나오게 하는 오점이 됩니다.

 

Drude model의 성공의 예는 

1. metal conductivity 설명

2. Valence=1에서 Hall effect 설명

3. Skin depth 이론(AC)

4. Wiedmann-Franz law(열 전도율)

입니다.

 

그러나

Drude model의 실패의 예도 많습니다.

1. insulator, semiconductors의 작용을 설명하지 못합니다.

2. Valence>1에서 hall effect을 설명하지 못합니다.

3. Heat capcacity가 현실에서 100배 작습니다.

4. Thermoelectric effect도 맞지 않습니다.

5, colors of metals도 설명하지 못합니다.

 

따라서 Drude model의 보완점이 나오는데

1. classically하게 다루지 말고 Fermions으로 다룬다. 즉 wave로 다룬다.

2. 전자는 동일하나 구분할 수 없다.

3. 전자는 pauli exclusion priciple을 따른다.

4. 전자는 Fermi-Dirac statistics를 따른다.

고 정의하여 후에 새로운 이론이 나옵니다.

 

참고로 이 전도도가 전자와 정공의 갯수를 포함하는 공식

$$\sigma=ne\mu_e +pe\mu_h$$

이므로

$$\sigma \sim \mu(T)e^{E_g/kT}$$

$$ln\sigma \sim -\frac {1}{2}\frac{E_g}{kT}$$

로 온도에 따른 전도도 변화를 그려 $$ln\sigma$$에 대한 비를 확인하면 Energy gap을 유추할 수 있습니다.