Free electron model(Drude–Sommerfeld model)_density of states, Fermi level

정의상 가정	드루드 모델(Drude model)_전류(current), 전도도(conductivity), 이동도(mobility), 파동, 파울리배타원리(추후 추가), Fermions(추후추가), 파동과에너지(추후추가)
내용상 가정	1. classically하게 다루지 말고 Fermions으로 다룬다. 즉 wave로 다룬다. 2. 전자는 동일하나 구분할 수 없다. 3. 전자는 pauli exclusion priciple을 따른다. 4. 전자는 Fermi-Dirac statistics를 따른다.
공식	Fermi Dirac Distribution $$f_{ek}=e^{-\frac{-E_{ke}}{k_BT}}$$ Density of state $$D_e(E_{ke})=\frac{1}{2\pi^2}(\frac{2m_e^*}{\hbar^2})\sqrt{\varepsilon_{ke}\Delta e}$$
단위
응용	Nearly free electron model_밴드갭(band gap)

↑파란 박스의 글자를 클릭하시면 가정과 응용으로 넘어 가실 수 있습니다!!

Drude model에는 여러가지 문제가 있었습니다. 나열을 해보자면

1. insulator, semiconductors 설명 불가

2. Valence>1에서 hall effect 설명 불가

3. Heat capcacity(현실에서 100배 작음) 틀림

4. Thermoelectric effect 틀림

5, colors of metals 설명불가

6. Metallic ions은 격자와 원자를 고려하지 않았다.(minor role)즉 금속에선 적용되나 semiconductor적용안된다. 

7. Electron Proton의 상호작용이 무시되었다. 

8. Constant의 τ를 가정한다.

따라서 이를 보완해야 하는데 이를 보완한게 바로 Drude–Sommerfeld model(Free electron model)입니다.

보완한것은 4가지가 있습니다.

1. classically하게 다루지 말고 Fermions으로 다룬다. 즉 wave로 다룬다.

2. 전자는 동일하나 구분할 수 없다.

3. 전자는 pauli exclusion principle을 따른다.

4. 전자는 Fermi-Dirac statistics를 따른다.

즉 Drude model의 가정을 바꾸는 것입니다.

여기서 Fermi-Dirac statistics는 이곳에서 다루겠습니다.

아직 격자와 원자의 상호작용을 설명하진 못하지만 어느정도는 보완을 해줍니다.

결론적으로 다음의 가정을 함으로 열 특성이 보다 잘 예측되고 밴드이론(Band Theory)가 개발되었습니다.

이 모델의 핵심은 에너지의 양자화 입니다.

만약 전자가 wave, 즉 파동으로 존재한다고 본다면 파동의 형태로 원자주의를 구성하고 있을 겁니다.

이 파동이 사라지거나 영향을 받지 않고 존재하려면 어떤 상태를 이루어야 할까요?

바로 standing wave가 되어야 합니다.

즉 한바퀴 돌았을 때 똑같은 상태가 되어야합니다.(왜 그래야만 하는지는 정확히 모르겠습니다.)

따라서 wave, 즉 파동을 나타내기 위해 다음과 같이 나타내면 한바퀴 도는길이가 L이라고 한다면

로 k가 도출되게 됩니다, 이 k를 wave vector라고 하며(단위 [1/m])

파동의 특성을 나타내게 합니다.

따라서 이 k에 대해서 논하는게, 전자를 wave로 가정했을때 가장 중요합니다.

따라서 k와 연관되는 개념을 찾는 도중,

가장 중요한 힘을 대변하는 에너지와 연관 지울수 있습니다.

바로 이 식입니다. 나머지는 상수고 E와 k는 이차방정식을 이루므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

위에서 보았듯 먼저 k가 단위로 증가됩니다. 

왼쪽 초록색 원 두개는  pauli exclusion principle로 한 k에 2개의 파동을 가지고 있고,

전자간의 에너지 차이는 기울기 근사를 이용해

로 표현됩니다.

여기서 한가지 새로운 용어가 등장합니다.

바로 페르미 준위 입니다.

페르미 준위('Fermi level')란 어떤 에너지입니다.

원자에서 양성자에 이끌려서 전자가 쌓이다가 마지막에 딱 쌓이는 에너지의 값이 Fermi level이라 합니다.

다시말해 바닥상태에 전자들이 점유하는 에너지상태입니다.

들뜬상태, 즉 전자가 원자 밖으로 나오려면 이 Fermi level이상의 에너지를 가져야합니다.

이때 Total 전자의 개수를 구할 수 있는데

앞서 정리한 이론대로 Fermi level에 상응하는 k값에 전자가 간격으로 분포되어있으로 를 나눠줍니다.

한 전자 위치에는 pauli exclusion principle에 의해 2개씩 있으며 +k와 -k가 있으므로 2를 또 곱해줍니다.

따라서   이 되게 됩니다.

이제 한가지 모르는게 딱 하나 남았습니다. 

에너지 별로 몇개의 전자가 있는지 모릅니다.

즉 이 특정 x라는 에너지상태에서는 단위길이당 몇개의 전자가 있을까를 보는 겁니다.

구지 단위길이당을 붙인이유는 원자의 종류에 상관없이 비교 하기위함입니다.

이를 에너지와 길이당 전자의 수(density of state) g(E)라 하며

입니다.

이를 계산하기 위해 를 사용한다면

입니다.

참고로 단위길이당 전자의 갯수 

입니다

위에 예시는 일차원 즉 원자가 일렬로 쭉 배열된 상태에서 이야기 입니다.

그렇다면 2차원에서는 어떨까요??

단순히 Total 전자의 개수를 구할때, 전자가 점유할 수 있는 k값의 면적을 구하고 그것을 서로 떨어져있는 면적으로 나눠줍니다.

k값의 면적은 원이라고 치면 이게 되고 

서로 떨어져 있는 간격은 간격으로 증가될 것이므로 x축간격과 y축간격을 곱한이게 됩니다.

따라서 입니다.

에너지와 길이당 전자의 수(density of state) g(E)도 똑같은 원리로

입니다. 즉 위 그림대로 계산이 가능합니다.

3차원에서는 어떨까요??

이때도 역시 

이며 에너지와 길이당 전자의 수(density of state) g(E)

로 계산 가능합니다.

입니다.

이 수식을 이용하면 정확한 Heat Capacity를 얻게 됩니다.