자기 이방성 에너지(magnetic anisotropy energy)

 

정의상 가정	spin orbit coupling 격자(lattice) spin in quantum mechanics Zeeman energy (지만 에너지) 자기장(magnetic field)_비오-샤바르법칙(Biot Savart Law)_자석_패러데이 유도법칙
내용상 가정	논의를 단순화 시키기 위해 out of plane방향의 모든 electron energy에서 in plane방향의 모든 electron energy를 뺀것을 k라 할때 k>0이라면 PMA(perpendicular magnetic anisotropy), k<0이라면, IMA(inplane magnetic anisotropy)라 하겠습니다. 또한 잘 정렬되는 축을 easy axis 잘 정렬되지 않는 축을 hard axis라 하겠습니다.
공식
단위
응용	magnetic material_강반자성AFM(antiferromagnetic), 강자성FM(ferromagnetic), paramagnetic, diamagnetic, 자화에너지 magnetic perpendicular anisotropy(수직 이방성) _ demagnetization(반자화) 전기장 제어 자기이방성(voltage controlled magnetic anisotropy, VCMA)

 

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자석은 한쪽으로 정렬하려는 성질을 갖고 있습니다.

나침반 속 바늘을 보더라도, 항상 바늘 끝 쪽으로 향하는 자석 방향이 있습니다.자석의 방향을 결정하는 요소는 크게 다섯가지가 있습니다. 영문표기와 혼용해서 표기한다면,1. Crystal anisotropy : 물질 내 결정으로 결정되는 방향성2. Shape anisotropy : 물질 모양으로 결정되는 방향성3. Stress anisotropy : 외부 힘으로 나타나는 방향성4. Induced anisotropy : 물질 제작과정에서 형성되는 방향성5. Exchange anisotropy : 자석에 인접한 반자성체로 나타내는 방향성입니다.

 

흔히 보이는 자석은 모두 Shape anisotropy로 결정되나, 박막에서는 위 다섯가지 원리가 모두 적용됩니다.

Shape anisotropy는 간단합니다.자석 끝과 끝 N극과 S극에서 자기장이 발생하는데, 이 자기장은 자석을 형성하는 방향과 반대방향으로 자석의 형성을 방해한다 하여 demagnetization(반자화)라 합니다. 자기장이므로 이 반자화 자기장이 미치는 범위가 짧을 수록 큰 에너지를 받게 되어서, 자석은 N극과 S극이 최대한 멀리 떨어질 수 있도록 정렬을 하여 유지를 합니다.즉 Shape anisotropy는 자석의 모양이 결정되면 모양 내에서 반자화가 가장 적게되는 N극과 S극을 형성하여 자기이방성을 형성하게 됩니다.

즉 Demagneization이 커진 방향은 원래 Field를 상쇄하여 그 방향은 거의 Magnetic field를 갖지 못하게 됩니다. 반대로 그 수직한 방향의 경우 거의 모든 spin이 정렬되게 됩니다.

 

다시말해 magnetic free pole로 발생한 magnetostatic energy이 영향을 준다고 볼 수 있습니다.

$$U=\frac{1}{2\mu_0}NI^2V$$

V는 volume이고 I는 magnetization intensity이며, N이 demagnetization factor입니다. demagnetization factor는 demagnetic field이 클수록 커집니다.

 

 

하지만 박막(film)에서는 원리가 다릅니다. 방향을 단순화 시키기 위해 면방향(in-plane)과, 수직방향(out of plane)으로 방향을 나누겠습니다. 

자기 이방성이 나타나는 원인은 자성이 에너지가 안정한 쪽으로 맞춰지다 보니 발생하게 됩니다. 위에서 말씀드린 shape anisotropy도 마찬가지 입니다. 반자화 에너지를 최소화 시키는 방향으로 맞추어진 결과입니다.

Introduction to magnetic materials, B.D. Cullity, C.D. Graham, Wiley

박막에서도 앞선 Shape anisotropy가 가장 큰 영향을 줍니다. 위 표에서도 보이듯, shape anisotropy의 c/a는 자석의 가로 세로 비율을 나타내는데, 가로세로 비율이 1.5배 되는 자기이방성 효과를 다른 원리로 나타내려면 물질을 구부려서 자기이방성을 나타내는 Stress anisotropy에서는 물질이 부서지는 정도의 힘인 9.3 GPa을 줘야하고, 결정자기이방성으로는 물질 결정에너지의 거의 한계만큼 가해줘야합니다. 이외 다른 Induced와 exchange는 이와 비교도 안될정도로 작습니다.

 

따라서 본 포스팅에서는 그래도 큰 자기이방성을 나타내는 결정자기이방성을 포함하여, 자기이방성을 다뤄보겠습니다.

자기이방성이 형성이 된다면, 방향에 따라 외부자기장에 대해 반응을 하는 정도가 달라지게 됩니다. 외부자기장에 의해 반응하는 에너지는 Zeeman energy (지만 에너지)지라 하는데, 외부자기장과 자화의 내적값입니다.

$$E_p=-\vec{H}\cdot \vec{M}$$

장(field)에 반응하는 에너지 이므로 포텐셜에너지 Ep로 표기하겠습니다. 그렇다면, 자석에 가해지는 전체에너지는 이 자기이방성에너지와 지만에너지이고,

$$E=E_a+E_p=K_u sin^2\theta - HMcos(\alpha -\theta)$$

로 표현할 수 있습니다. 이 에너지의 변곡점과 극소점을 분석한다면 자기 이력곡선 (Hysteresis loop) _ 히스테리시스 곡선을 설명할 수 있습니다.  여기서 alpha는 자석이 선호하는 방향과 외부자기장 방향의 각도이고, theta는 자석이 선호하는 방향과 실제 자성 방향의 각도입니다. 

Introduction to magnetic materials, B.D. Cullity, C.D. Graham, Wiley

위는 이 에너지를 theta에 따라 나타낸 그림인데, 지금은 h=0일 때만 보겠습니다. theta가 바뀐다는 의미는 실제 자성의 방향이 움직인 방향입니다. h=0일 때 theta 가 0과 180도에서 에너지는 0이 됩니다. 즉 0도와 180도에서 에너지가 가장 안정합니다. 다시말해 자기이방성이 형성된 방향으로 평행하거나 반평행할 때 가장 안정한 상태가 되는 겁니다. 이때 0도와 180도를 왔다갔다 하려면 90도의 가장 높은 에너지를 넘어야 합니다. 이를 energy barrier라 하고, MRAM에서는 메모리 에너지라 합니다. 0도에서 180도로 바뀌는 것을 magnetic switching이라합니다. h가 hc가 되면 0도와 180도 사이 에어지 베리어는 없어집니다. 여기서 h는 외부에서 가해준 자기장을 나타냅니다. hc는 이렇게 에너지 베리어가 사라지는 외부자기장을 나타냅니다.

다시말해 자기이방성에너지는 90도에서 자기이방성 에너지를 나타내며, hc를 switching field를 나타냅니다.

또한 0도에서 딱 90도까지 가게 만드는 자기장은 이 자기이방성 에너지를 나타낸다 볼 수 있습니다. 따라서 이 field는 Hk라 표현하며 magnetic anisotropy field라 불리고 이는 에너지를 미분할 때 0인 값이므로 이 때의 각도와 실제 자성 방향을 대입하면 다음 식이 유도됩니다.

$$Energy = \frac{H_k\, M_s}{2}$$

인 관계를 나타냅니다. 더 자세한 사항은 자기 이력곡선 (Hysteresis loop) _ 히스테리시스 곡선을 참고해주시길 바랍니다.

 

Shape anisotropy와 Crystal anisotropy만 고려한다 했으므로, 이 두 에너지를 총칭하여 표현해 보겠습니다. Shape과 결정 anisotropy 에너지 밀도를 ks, kmca라 한다면 k로 합칠 수 있습니다. 또한  magnetic anisotropy field는 

입니다.

 

Shape anisotropy는 직관적으로 이해가 되었으리라 가정하고, 결정자기이방성에 대해 다루어보겠습니다. 자성을 나타내는 가장작은 단위는 Spin(스핀)입니다.

먼저 스핀의 에너지에 대해 살펴봐야하는데, 스핀간에서는 서로 한쪽으로 정렬하려는 에너지를 가지고 있고 이를 교환 상호작용(exchange interaction)라고 표기합니다. 교환에너지는 스핀간 상대적인 방향에 영향을 받았으나, 어떤 방향을 선호하게 스핀이 정렬된다는 내용은 설명하지 않습니다. 따라서 교환상호작용에 대한 내용은 배제하고 논의를 진행하겠습니다. 

다음과 같은 결정이 있다고 하겠습니다. 중간 원자만 본다고 할때 중간원자의 magnetic moment는 아무데나 바라보는 것보단, 이웃한 원자를 바라보는게 더 안정합니다. 왜냐하면 스핀궤도결합(spin orbit coupling) 때문입니다. 

먼저 결정구조에서 spin과 lattice사이에는 직접적인 coupling이 없습니다.(isotropic), 그러나 spin과 orbital사이에는 spin orbit coupling이 있고 orbital과 lattice사이에는 crystal field(원자들은 각자 인력)에 의해 crystal구조상 이웃한 원자사이에는 강한 상호작용이 있고 한다리만 건너도 약한 상호작용을 갖게 되는 상호작용이 있습니다.

이 때문에 orbital의 magnetic moment는 lattice에 갖혀 움직이지 못하고, spin에게 spin orbit coupling로 영향을 줍니다.

다시말해 spin과 lattice는 indirect로 coupling을 하게 되는데 이 coupling에 의해 원자 방향으로 spin의 magnetic moment가 생성됩니다.

 

앞 설명이 복잡하다면, 격자 방향이 궤도 운동의 영향을 받고, 스핀이 스핀운동과 궤도운동이 영향을 받기 때문에 격자에 영향을 받아 자기이방성이 형성된다고 생각하시면 됩니다. 참고로 Crystal은 isotropy이고 lattice는 anisotorypy입니다. 또한 spin-orbit coupling도 isotropy이므로 결국 lattice(격자)만 보면 됩니다.

 

상온에서 자성을 가지고 있는 물질은 세가지가 있습니다. 바로 철(Fe), 니켈(Ni), 코발트(Co)입니다.Fe과 Ni은 각각 BCC와 FCC로 

cubic 구조를 가집니다.

Co는 HCP로 hexagonal구조를 가집니다.

 

Cubic 구조를 가졌을 때는 모든 방향에 대해 대칭을 형성하기 때문에 각 방향에서 특정 방향으로 cos값을 alpha라 한다면, 에너지를 다음과 같이 근사할 수 있습니다.$$E=K_0 + K_1 (\alpha_1^2 \alpha_2^2 + \alpha_2^2 \alpha_3^2+ \alpha_3^2 \alpha_1^2)+K_2(\alpha_1^2 \alpha_2^2 \alpha_3^2)$$이 때 K는 상수로 물질에서 나타나는 고유 상수라고 볼면 됩니다.여기서 K1이 양수이고 K2가 어느정도 큰 경우 <100>방향이 자기이방성 방향이라 계산이 되는데, 이때가 Fe에 해당합니다. 또한 K1이 음수이고 K2가 엄청나게 작으면 <111> 방향을 선호하고 이는 Ni이 됩니다. 이런식으로 Cubic구조의 자기이방성을 확인할 수 있습니다.

 

Co인 HCP의 경우 일축이방성으로 대칭이 깨져있으므로$$E=K_0+K_1 sin^2\theta+K_2sin^4\theta+\cdots$$로 표기할 수 있습니다.

Co에서 

$$K_{u1}=4.53\times 10^5 J/m^3$$

$$K_{u2}=1.44\times 10^5 J/m^3$$

입니다.

이 외에도 단일 물질이 아닌 박막으로 서로 다른 물질이 쌓여있을때, inversion symmetry가 breaking 되어 일축이방성으로 자기이방성이 형성되게 됩니다. 특히 MgO/CoFeB은 O의 Pz오비탈과 Fe의 z2 오비탈이 hybridization하고 xz,yz오비탈이 spin orbit coupling에 의해 split 할 때 z2도 영향을 받아 형성되게 됩니다.

 

Cubic에 대한 경향은 확인하였으므로, 대칭이 깨져있는 일축이방성을 보겠습니다.

방향 으로 일축 이방성을 갖는 경우 에너지는

이고 K는 자기이방성 에너지 밀도 입니다. 이때의 일축 자기 이방성 자기장은

입니다.

이를 에너지로 변환시킨다면

이며, Ku는 material system에 대한 항으로 보통 10^6~10^7erg/cm^3이고 u는 magnetic easy axis의 방향으로 나타낼 수 있습니다.

 

번외로 에너지 관점에서 아까 무시한다고 했던 교환상호작용을 도입하여 Heisenburg expression으로도 표현될 수 있는데,

$$\omega_{i,j}=-2JS_i\cdot S_j =-2JS^2cos\phi$$

여기서 S는 spin의 magnitude이고 𝛗는 S1과 S2사이의 각도이며 J는 exchange integral입니다.

각 spin 들이 rotate할때는 exchange energy g가 변화하지 않습니다. 즉 magnetic anisotropy에 영향을 주는 에너지는 아니라고 생각 할 수 있습니다. 이웃한 spin와 각도가 𝛗정도 난경우 dipolar interaction coefficient l과 qudrupolar interaction coefficient q를 써서 식을 새로 쓸수 있는데,

$$\omega (cos \phi) =g+l(cos^2 \phi -\frac{1}{3})+q(cos^4\phi -\frac{6}{7}cos^2\phi +\frac{3}{35})+\cdots ,$$

입니다. 그러나 정렬되지 않은 magnetic orbital moment가 exchange나 electrostatic energy의 변화를 이끌어내고 wave function의 변화를 만들어 자기 이방성을 형성합니다.

 

이제 모두를 도입한 전체적인 에너지를 보겠습니다. magnetostatic energy density부터 시작하겠습니다.

여기서 Demagnetization field의 경우 

와 같은 공식이 성립합니다. 따라서 간단하게 대입한다면

입니다. 이때 N에 대해서

이라고 가정 한다면,

입니다. 여기에 magnetocrystalline energy density와 Zeeman energy density인

를 더한다면, total energy density가 됩니다.

여기서 가장 작아지는 에너지를 미분값이 0인것을 찾으면 자기이방성 자기장이므로 

이때 Hk값은 딱 Saturation 됐을 때의 상황이므로 그 상황의 인가한 field를 적용하면

입니다.

 

K1이외에도 Keff라는 값이 있는데 주로 박막에서 쓰이는 에너지 입니다. Keff는 anisotropic free energy density에 쓰이는 값으로써

입니다. surface 두께를 d라고 하면

가 됩니다. 즉 이 Keff가 양수이냐 음수이냐로 perpendicular magnetization인지 inplane magnetization인지 결정되게 됩니다.

즉 작은 두께에서는 Ks/d가 지배적이게 되며 1~2nm정도되는 두깨에서는 magnetostatic이 지배적이게 됩니다.

(논의를 단순화 시키기 위해 out of plane방향의 모든 electron energy에서 in plane방향의 모든 electron energy를 뺀것을 k라 할때 k>0이라면 PMA(perpendicular magnetic anisotropy), k<0이라면, IMA(inplane magnetic anisotropy)라 하겠습니다. 또한 잘 정렬되는 축을 easy axis 잘 정렬되지 않는 축을 hard axis라 하겠습니다.)